每日一题[1061]信手拈来

过点 $A(-4,0)$ 向椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 引两条切线，切点分别为 $B,C$，若 $\triangle ABC$ 为正三角形，则当 $ab$ 最大时，椭圆的方程是____________．

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正确答案是$\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1$．

分析与解　法一
根据题意，其中一条切线方程为 $x+\sqrt 3y+4=0$，于是根据等效判别式

$$a^2+3b^2=16,$$ 于是 $$16=a^2+3b^2\geqslant 2\sqrt 3 ab,$$ 等号当且仅当 $\left(a^2,b^2\right)=\left(8,\dfrac 83\right)$ 时取得，因此所求椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1$．
法二
根据题意，其中一条切线方程为 $x+\sqrt 3y+4=0$，设对应切点为 $(a\cos\theta,b\sin\theta)$，且 $\theta\in[0,2\pi)$，则 $$a\cos\theta+\sqrt 3b\sin\theta+4=0$$ 有唯一解，因此 $$a^2+3b^2=16,$$ 于是 $$16=a^2+3b^2\geqslant 2\sqrt 3 ab,$$ 等号当且仅当 $\left(a^2,b^2\right)=\left(8,\dfrac 83\right)$ 时取得，因此所求椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1$．
法三　
点 $A(-4,0)$ 对椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的双切线方程为 $$\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1\right)\left(\dfrac{16}{a^2}-1\right)-\left(\dfrac{-4x}{a^2}-1\right)^2=0,$$ 即 $$\dfrac{16-a^2}{b^2}\cdot y^2=\left(x+4\right)^2,$$ 根据题意，两条切线的斜率分别为 $\pm\dfrac{\sqrt 3}3$，于是有 $$\dfrac{16-a^2}{b^2}=3,$$ 即 $$16=a^2+3b^2\geqslant 2\sqrt 3 ab,$$ 等号当且仅当 $\left(a^2,b^2\right)=\left(8,\dfrac 83\right)$ 时取得，因此所求椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1$．

备注　也可以由切点弦方程为$\dfrac{-4x}{a^2}=1$，即$x=-\dfrac{a^2}4$．

代入椭圆方程解得$y^2=b^2\left(1-\dfrac{a^2}{16}\right)$．从而由$-\dfrac{a^2}4-(-4)=\sqrt 3|y|$得

$$\left(4-\dfrac{a^2}4\right)^2=3b^2\left(1-\dfrac{a^2}{16}\right),$$ 得到$a^2+3b^2=16$．