每日一题[1039]一切尽在掌控

分析与解　(1)情形一　$\min\{a,b,c\}\leqslant 0$．此时有 $$a+b+c\geqslant 3\min\{a,b,c\}\geqslant 4\min\{a,b,c\}.$$
情形二　$\min\{a,b,c\}>0$．此时 $a,b,c>0$，不妨设 $a\geqslant c$，则 $$b^2\geqslant 4ac\geqslant 4c^2,$$ 于是 $b\geqslant 2c$，因此 $$a+b+c\geqslant a+2c+c\geqslant 4c=4\min\{a,b,c\}.$$ 综上所述，原命题得证．

(2)情形一　 $\max\{a,b,c\}\leqslant 0$．此时有 $$a+b+c\leqslant 3\max\{a,b,c\}\leqslant \dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$
情形二　 $\max\{a,b,c\}>0$ 且 $\min\{a,b,c\}\leqslant 0$．此时有 $$a+b+c\leqslant 2\max\{a,b,c\}+\min\{a,b,c\}\leqslant 2\max\{a,b,c\}\leqslant \dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$
情形三　 $\min\{a,b,c\}>0$．此时 $a,b,c>0$，不妨设 $a\geqslant c$．
（i）若 $a\geqslant b\geqslant c$，则 $$b^2\geqslant 4ac\geqslant 4bc,$$ 于是 $b\geqslant 4c$，从而 $$a+b+c\leqslant \dfrac 94a=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$
（ii）若 $b\geqslant 4a\geqslant c$，则 $$a+b+c\leqslant \dfrac 94b=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$
（iii）若 $4a>b\geqslant a\geqslant c$，则 $$a+b+c\leqslant a+b+\dfrac{b^2}{4a}\leqslant b+\dfrac 54b=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$ 注意 $a+\dfrac{b^2}{4a}$ 是关于 $a$ 的对勾函数，当 $\dfrac b4<a\leqslant b$ 时，最大值在 $a=b$ 时取到．
（iv）若 $a\geqslant c>b$，则 $$a+b+c\leqslant a+a+\dfrac{b^2}{4a}<a+a+\dfrac a4=\dfrac 94a=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$
综上所述，原命题得证．

注（1）中取等条件为 $(a,b,c)=(a,2a,a)$，（2）中取等条件为 $(a,b,c)=(a,4a,4a)$．