每日一题[1037]取值有限

定义数列 $\{a_n\}$ 如下：
① $a_1=a$；
② 若 $a_k\ne 2$，定义 $a_{k+1}=\dfrac{1}{2-a_k}$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）；若 $a_k=2$，则数列终止．
若这样定义的数列中项的取值集合为有限集合，则 $a$ 的取值集合为________．

正确答案是$\{1\}\cup\left\{1+\dfrac 1k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$．

分析与解　情形一　数列 $\{a_n\}$ 是有穷数列．

此时必有某个 $a_k=1$，因为 $a_k=2-\dfrac{1}{a_{k+1}}$，考虑数列 $$b_{n+1}=2-\dfrac{1}{b_n},$$ 其中 $b_1=2$．可归纳证明 $$b_n=1+\dfrac 1n,n\in\mathbb N^{\ast}.$$
所以此时 $a$ 的取值集合为 $\left\{1+\dfrac 1k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$．

情形二　数列 $\{a_n\}$ 是无穷数列．

因为它是由递推关系定义的，所以一定从某项起为周期数列．分情况讨论：
（i）当 $a=1$ 时，$a_n=1$，符合题意．
（ii）当 $a<1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 单调递增趋于 $1$，不符合题意；
（iii）当 $a>2$ 时，$a_2<\dfrac 14$，于是数列 $\{a_n\}$ 从第 $2$ 项起单调递增趋于 $1$，不符合题意；
（iv）当 $\dfrac 32<a<2$ 时，$a_2>2$，于是数列 $\{a_n\}$ 从第 $3$ 项起单调递增趋于 $1$，不符合题意；
（v）当 $1<a<\dfrac 32$ 时，若存在某个 $a_k\notin\left(1,\dfrac 32\right)$，则由以上讨论知不符合题意；若 $\forall k\in\mathbb{N}^{\ast},a_k\in\left(1,\dfrac 32\right)$，则由 $$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac 1{a_k(2-a_k)}>1$$ 知 $\{a_n\}$ 单调递增．又因为 $y=\dfrac 1{x(2-x)}$ 在 $\left(1,\dfrac 32\right)$ 上单调递增，所以 $$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac 1{a_k(2-a_k)}\geqslant\dfrac 1{a(2-a)}>1,$$ 所以 $$a_k>a\cdot\left(\dfrac 1{a(2-a)}\right)^{k-1},$$ 与 $a_k<\dfrac 32$ 矛盾，故此时也不符合题意．
综上知，$a$ 的取值集合为 $\{1\}\cup\left\{1+\dfrac 1k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$．