每日一题[1033]发掘隐藏条件

已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 是以 $6$ 为周期的奇函数，当 $x\in(0,3)$ 时，

$$f(x)=\ln \left(2x^2-4x+a\right).$$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $[-3,3]$ 上有 $5$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

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正确答案是 $\{3\}$．

分析与解　根据题意，有 $f(0)=0$，且

$$\forall x\in(0,3),2x^2-4x+a>0,$$ 于是 $a>2$．又 $f(x)$ 是以 $6$ 为周期的奇函数，于是 $$f(-3)=f(3)=0,$$ 此时 $f(x)$ 在区间 $(-3,3)$ 上有 $3$ 个零点，于是 $f(x)$ 在 $(0,3)$ 上有 $1$ 个零点，对应 $a=3$，区间 $(0,3)$ 上的零点为 $x=1$．

下面给出一道练习：

函数 $f\left(x\right)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的奇函数，且 $f\left(x + 3\right) = f\left(x\right),f\left(2\right) = 0$，则方程 $f\left(x\right) = 0$ 在区间 $\left(0,6\right)$ 内解的个数的最小值为_______．

答案是$7$．至少有$0,1,4,\dfrac 32,\dfrac 92,2,5$这七个零点．