每日一题[1005]数列的单调性

设$a_1>\dfrac{1}{12}$，且$a_{n+1}=\sqrt{(n+2)a_n+1}$，$n\in\mathbb N^*$．
(1) 求证：$a_n>n-\dfrac 2n$；
(2) 设$b_n=2^n\left(\dfrac{a_n}n-1\right)$，求证：当$\dfrac{1}{12}<a_1<1$时，$b_n<b_{n+1}<0$；当$a_1>1$时，$0<b_{n+1}<b_n$．

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分析与解　(1) 当$n=1$时命题显然成立；

当$n=2$时，有

$$a_2=\sqrt{3a_1+1}>\dfrac{\sqrt 5}2>1,$$ 命题成立；

当$n=3$时，有

$$a_3=\sqrt{4a_2+1}>\sqrt {2\sqrt 5+1}>3-\dfrac 23,$$ 命题成立；

当$n\geqslant 3$时，考虑到

$$(n+2)\cdot\left(n-\dfrac 2n\right)+1-\left(n+1-\dfrac{2}{n+1}\right)^2=\dfrac{2(n^3-5n-2)}{n(n+1)^2}>0,$$ 于是由数学归纳法，原命题得证．

(2) 由数学归纳法容易证明当$\dfrac{1}{12}<a_1<1$时，有$a_n<n$；当$a_1>1$时，有$a_n>n$，这就得到命题中的上下界．下面证明单调性．

考虑

$$\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=2\cdot \dfrac{\dfrac{a_{n+1}}{n+1}-1}{\dfrac{a_n}n-1},$$ 因此当$a_1>1$时，不等式$b_{n+1}<b_n$等价于 $$\dfrac{a_n}{n}-1>\dfrac{2a_{n+1}}{n+1}-2,$$ 即 $$\dfrac{a_{n+1}^2-1}{(n+2)n}-1>\dfrac{2a_{n+1}}{n+1}-2,$$ 整理，也即当$n\geqslant 2$时，有 $$\left(a_n-n\right)\left(na_n-n^2+2\right)>0,$$ 根据第$(1)$小题的结果，命题得证．

类似地，当$a_1<1$时，命题也成立．因此原命题得证．