每日一题[990]根与系数

已知$a,b,c$为正整数，方程$ax^2+bx+c=0$的两个实根$x_1,x_2$满足$-1< x_1<x_2< 1$，求$a+b+c$的最小值．

正确答案是$11$．

分析与解　设$f(x)=ax^2+bx+c$，则根据题意，有 $$\begin{cases}&f(-1)>0, \\ &f(1)>0,\\ &-1<-\dfrac b{2a}<1,\\ &\Delta=b^2-4ac>0,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} a-b+c\geqslant 1,\\ 2a-b\geqslant 1,\\ b^2-4ac\geqslant 1.\end{cases}$$ 因此 $$a+b+c=(a-b+c)+2b\geqslant 1+2b,$$ 接下来研究$b$的最小值．由于$b^2\geqslant 4ac+1\geqslant 5$，于是从$b=3$开始试探．

情形一　$b=3$．此时$a+c\geqslant 4$，且 $$ac\leqslant \dfrac{b^2-1}4=2,$$ 无解．

情形二　$b=4$．此时$a+c\geqslant 5$，且 $$ac\leqslant \dfrac{b^2-1}4=\dfrac{15}4,$$ 于是$ac\leqslant 3$，无解．

情形三　$b=5$．此时有解$(a,c)=(5,1)$．

综上$a+b+c\geqslant 11$且等号当$(a,b,c)=(5,5,1)$时取得，因此$a+b+c$的最小值为$11$．