每日一题[989]层层转化求最值

已知$a,b,c,d\geqslant 0$且$a+b+c+d=4$,求$m=\dfrac{a}{b^3+4}+\dfrac{b}{c^3+4}+\dfrac{c}{d^3+4}+\dfrac{d}{a^3+4}$的最大值与最小值.


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正确答案是最大值为$1$,最小值为$\dfrac 23$.

分析与解 最大值 根据题意,有\[m\leqslant \dfrac a4+\dfrac b4+\dfrac c4+\dfrac d4=1,\]等号当$(a,b,c,d)=(0,0,0,4),(0,2,0,2)$时可以取得,因此$m$的最大值为$1$.

最小值 根据题意,有\[\begin{split}m&=\sum_{cyc}\dfrac{a\left(b^3+4\right)-ab^3}{4\left(b^3+4\right)}\\&=\sum_{cyc}\dfrac a4-\dfrac 14\sum_{cyc}\dfrac{ab^3}{b^3+4}\\&=1-\dfrac 14\sum_{cyc}\dfrac{ab^3}{\dfrac 12b^3+\dfrac 12b^3+4}\\&\geqslant 1-\dfrac 14\sum_{cyc}\dfrac{ab^3}{3b^2}\\&=1-\dfrac 1{12}(ab+bc+cd+da)\\&=1-\dfrac 1{12}(a+c)(b+d)\\&\geqslant 1-\dfrac 1{12}\left[\dfrac {(a+c)+(b+d)}2\right]^2\\&=\dfrac 23,\end{split}\]等号当$(a,b,c,d)=(2,2,0,0)$时可以取得.因此$m$的最小值为$\dfrac 23$.


下面给出一道练习:

已知$a,b,c>0$,$abc=1$,求$p=\dfrac{bc}{1+b^2+c^2}+\dfrac{ca}{1+c^2+a^2}+\dfrac{ab}{1+a^2+b^2}$的最大值.

 根据题意有\[\begin{split}p&\leqslant \sum_{cyc}\dfrac{bc}{1+2bc}\\&=\sum_{cyc}\dfrac{1}{a+2}\\&=\dfrac{12+4(a+b+c)+ab+bc+ca}{8+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc},\end{split}\]而\[ab+bc+ca\geqslant 3\left(ab\cdot bc\cdot ca\right)^{\frac 13}=3,\]于是有$p\leqslant 1$.又当$(a,b,c)=(1,1,1)$时取得等号,因此所求$p$的最大值为$1$.

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