每日一题[990]根与系数

已知$a,b,c$为正整数,方程$ax^2+bx+c=0$的两个实根$x_1,x_2$满足$-1< x_1<x_2< 1$,求$a+b+c$的最小值.


cover正确答案是$11$.

分析与解 设$f(x)=ax^2+bx+c$,则根据题意,有\[\begin{cases}&f(-1)>0, \\ &f(1)>0,\\ &-1<-\dfrac b{2a}<1,\\ &\Delta=b^2-4ac>0,\end{cases}\]即\[\begin{cases} a-b+c\geqslant 1,\\ 2a-b\geqslant 1,\\ b^2-4ac\geqslant 1.\end{cases}\]因此\[a+b+c=(a-b+c)+2b\geqslant 1+2b,\]接下来研究$b$的最小值.由于$b^2\geqslant 4ac+1\geqslant 5$,于是从$b=3$开始试探.

情形一 $b=3$.此时$a+c\geqslant 4$,且$$ac\leqslant \dfrac{b^2-1}4=2,$$无解.

情形二 $b=4$.此时$a+c\geqslant 5$,且$$ac\leqslant \dfrac{b^2-1}4=\dfrac{15}4,$$于是$ac\leqslant 3$,无解.

情形三 $b=5$.此时有解$(a,c)=(5,1)$.

综上$a+b+c\geqslant 11$且等号当$(a,b,c)=(5,5,1)$时取得,因此$a+b+c$的最小值为$11$.

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