每日一题[975]限制条件下的最值

在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且$\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=2$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$，则$b^2-ab$的最小值为_______．

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分析与解　根据题意及平行四边形的性质，有

$$\begin{cases}4+b^2=2\left(a^2+c^2\right),\\ \dfrac 12\left(b^2+c^2-a^2\right)=2,\end{cases}$$ 于是 $$2c^2=-2a^2+b^2+4=2a^2-2b^2+8,$$ 因此$3b^2-4a^2=4$．设$b^2-ab=x$，则有 $$\dfrac{x}{4}=\dfrac{b^2-ab}{3b^2-4a^2},$$ 即 $$(3x-4)b^2+4ab-4xa^2=0,$$ 也即 $$(3x-4)\left(\dfrac ba\right)^2+4\left(\dfrac ba\right)-4x=0,$$ 考虑判别式，有 $$16+16x(3x-4)\geqslant 0,$$ 于是$x\leqslant \dfrac 13$或$x\geqslant 1$．

当$x\leqslant \dfrac 13$时，有

$$\dfrac{b^2-ab}{3b^2-4a^2}\leqslant \dfrac 1{12}\Rightarrow (2a-3b)^2\leqslant 0,$$ 此时$3b^2-4a^2\leqslant 0$，不可能，所以$x\geqslant 1$．经验证，当$\left(a,b,c\right)=\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt 2,\dfrac{5\sqrt 2}2\right)$时，$x=1$．因此所求的最小值为$1$．

注　事实上，我们有

$$b^2-ab=\dfrac 14b^2+1+a^2-ab=\left(\dfrac 12b-a\right)^2+1\geqslant 1,$$ 等号当$b=2a$时取得．

如何配凑系数？可以通过待定系数法，因为

$$3b^2-4a^2+\lambda(b^2-ab)=4+\lambda x=(3+\lambda)b^2-\lambda ab-4a^2,$$ 由判别式 $$\Delta=\lambda^2+16(3+\lambda)=0,$$ 得到$\lambda=-4$或$\lambda=-12$，将$\lambda=-4$代入得 $$4-4x=-(2a-b)^2\leqslant 0,$$ 从而有$x\geqslant 1$，当$2a=b$时取到等号．