每日一题[946]新定义关系

据统计某超市两种蔬菜$A,B$连续$n$天价格分别为$a_1,a_2,\cdots,a_n$和$b_1,b_2,\cdots,b_n$，令

$$M=\left\{m\left|\ a_m<b_m,\ m=1,2,\cdots,n\right.\right\},$$ 若$M$中元素个数大于$\dfrac{3}{4}n$，则称蔬菜$A$在这$n$天的价格低于蔬菜$B$的价格，记作$A\prec B$．现有三种蔬菜$A,B,C$，下列说法正确的是(　　)
A．若$A\prec B,B\prec C$，则$A\prec C$
B．若$A\prec B,B\prec C$同时不成立，则$A\prec C$不成立
C．$A\prec B,B\prec A$可同时不成立
D．$A\prec B,B\prec A$可同时成立

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正确答案是C．

分析与解　设$n=8$．

对于选项A，取

$$\begin{align*}\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)&=(5,5,5,5,5,5,5,5),\\\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)&=(6,6,6,6,6,6,6,3),\\\left(c_1,c_2,\cdots,c_n\right)&=(7,7,7,7,7,7,4,4), \end{align*}$$ 可知A选项错误．

对于选项B，取

$$\begin{align*}\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)&=(5,5,5,5,5,5,5,5),\\\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)&=(4,4,4,4,7,7,7,7),\\\left(c_1,c_2,\cdots,c_n\right)&=(6,6,6,6,6,6,6,6),\end{align*}$$ 可知B选项错误．

对于选项C，取

$$\begin{align*}\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)&=(5,5,5,5,5,5,5,5),\\\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)&=(4,4,4,4,7,7,7,7),\end{align*}$$ 可知C选项正确．

对于选项D，显然错误．