每日一题[944]必要条件探路

已知函数$f(x)=\mathrm{e}^x+x^2-x$，$g(x)=x^2+ax+b$，其中$a,b$均为实数．
(1) 当$a=1$时，求函数$F(x)=f(x)-g(x)$的单调区间；
(2) 若曲线$y=f(x)$在点$(0,1)$处的切线$l$与曲线$y=g(x)$切于点$(1,c)$，求$a,b,c$的值；
(3) 若$f(x)\geqslant g(x)$恒成立，求$a+b$的最大值．

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分析与解　(1) 当$a=1$时，函数

$$F(x)=f(x)-g(x)={\rm e}^x-2x-b,$$ 求导得$F'(x)={\rm e}^x-2$，所以$F(x)$在$(-\infty,\ln 2)$上单调递减，在$(\ln 2,+\infty)$上单调递增．

(2) 因为

$$f'(x)={\rm e}^x+2x-1,g'(x)=2x+a,$$ 所以由题意知 $$\begin{cases} g(1)=c=1+a+b,\\f'(0)=0=g'(1)=2+a=\dfrac {c-1}{1-0}=c-1,\end{cases}$$ 解得$(a,b,c)=(-2,2,1)$．

(3)因为

$$f(x)-g(x)={\rm e}^x-(a+1)x-b\geqslant 0,$$ 先探索必要条件，令$x=1$得$a+b \leqslant \mathrm{e}-1$．

如果$a+b$可以取到${\rm e}-1$，那么它就是所求最大值，尝试构造：

若取$(a,b)=(\mathrm{e}-1,0)$，则

$$f(x)-g(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}x\geqslant 0$$ 恒成立．

综上所述，$a+b$的最大值为$\mathrm{e}-1$．

注　(3)常规做法：因为

$$f(x)-g(x)={\rm e}^x-(a+1)x-b\geqslant 0$$ 恒成立，所以 $$a+b\leqslant {\rm e}^x-(a+1)x+a$$ 恒成立，令$h(x)={\rm e}^x-(a+1)x+a$，求$h(x)$有最小值，求导得 $$h'(x)={\rm e}^x-(a+1),$$ 当$a+1<0$时，$x\to-\infty$时，有$h(x)\to-\infty$，$a+b$不可能取到最大值；
当$a=-1$时，$x\to-\infty$时，$h(x)\to -1$；
当$a>-1$时，$h(x)$的最小值为 $$h(\ln(a+1))=2a+1-(a+1)\ln(a+1),$$ 下面求关于$a$的函数 $$m(a)=2a+1-(a+1)\ln(a+1)$$ 的最大值即可，求导得 $$m'(a)=1-\ln(a+1),$$ 所以$m(a)$的最大值为 $$m({\rm e}-1)={\rm e}-1>-1,$$ 综上知$a+b$的最大值为${\rm e}-1$．此时$a={\rm e}-1$，$b=0$．