每日一题[937]函数的最值

已知函数$f(x)=\left(x^2+ax-a\right)\cdot{\rm e}^{1-x}$，其中$a\in\mathbb R$．
(1)求函数$f'(x)$的零点个数；
(2)证明：$a\geqslant 0$是函数$f(x)$存在最小值的充分不必要条件．

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分析与解　(1) 函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=-(x-2)(x+a)\cdot {\rm e}^{1-x},$$ 因此当$a\ne -2$时，函数$f'(x)$的零点个数为$2$；当$a=-2$时，函数$f'(x)$的零点个数为$1$．

(2) 情形一　当$a< -2$时，函数$f(x)$在$(-\infty,2)$上单调递减，在$(2,-a)$上单调递增，在$(-a,+\infty)$上单调递减．考虑到$f(2)=(4+a)\cdot {\rm e}^{-1}$，而当$x>-a$时，有

$$f(x)=\left[x\left(x+a\right)-a\right]\cdot {\rm e}^{1-x}>0,$$ 因此当$a\leqslant -4$时，函数$f(x)$存在最小值．（注意，只需要说明$a\leqslant -4$是函数有最小值的充分条件即可，没有论证必要性．）

情形二　当$a=-2$时，函数$f(x)$单调递减，没有最小值．

情形三　当$a>-2$时，函数$f(x)$在$(-\infty,-a)$上单调递减，在$(-a,2)$上单调递增，在$(2,+\infty)$上单调递减．考虑到$f(-a)=-a{\rm e}^{1+a}$，而当$x>2$时，有

$$f(x)>\left(4+2a-a\right)\cdot {\rm e}^{1-x}>0,$$ 因此当$a\geqslant 0$时，函数$f(x)$存在最小值．

综上所述，$a\geqslant 0$是函数$f(x)$存在最小值的充分不必要条件．

注　对本题的论述中，只需要证明$a\geqslant 0$时，$f(x)$存在最小值；$a<0$时，能找到一个$a$使得$f(x)$有最小值即可．事实上，$f(x)$有最小值当且仅当$a\in(-\infty,-4]\cup[0,+\infty)$．因为$-4<a<0$时，$f(2)>0$，而$x\to+\infty$时，$f(x)\to 0$且$x>1$时，$f(x)>0$，所以$f(x)$的下确界为$0$且取不到，所以$f(x)$没有最小值．