已知$a^2+b^2+c^2=2$，求证：$a+b+c\leqslant 2+abc$．
分析与解 情形一 若$a,b,c$不全是正数．不妨设$a\leqslant 0$，因为$$b+c\leqslant 2\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}2}\leqslant 2,bc\leqslant \left(\dfrac {b+c}2\right)^2\leqslant 1,$$所以\[2+abc-(a+b+c)=(2-b-c)-a(1-bc)\geqslant 0.\]
情形二 若$a,b,c$全都是正数．若$a,b,c\in (0,1]$，则\[2+abc-(a+b+c)=(1-ab)(1-c)+(1-a)(1-b)\geqslant 0,\]否则不妨设$a>1$，则\[\begin{split}2+abc-(a+b+c) &\geqslant 2+abc-\sqrt 2\cdot \sqrt{a^2+(b+c)^2}\\&\geqslant 2+bc-\sqrt 2\cdot \sqrt {2+2bc}\\&=\sqrt{4+4bc+b^2c^2}-\sqrt{4+4bc}\\&\geqslant 0.\end{split}\]
综上所述，原命题得证．