每日一题[910]各有千秋

已知$P$是单位圆$O$上一点，$A(1,0)$，$B(0,1)$，直线$PA$与$y$轴交于点$M$，直线$PB$与$x$轴交于点$N$，求证：$AN\cdot BM$为定值．

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分析与解　法一　设$P(\cos\theta,\sin\theta)$，则根据截距坐标公式，可得点$N$的横坐标$x_N$和点$M$的纵坐标$y_M$分别为

$$x_N=\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta},y_M=\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta},$$ 因此 $$AN\cdot BM=\left(1-\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\right)\cdot \left(1-\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right)=2,$$ 为定值．

法二　以$P$点在第三象限为例，如图，连接$AB$，$MN$．
设$\angle PBM=\theta$，则$\angle AMB=\angle ABN=45^\circ+\theta$，$\angle BAM=90^\circ-\theta=\angle ANB$．于是

$$\dfrac{AN}{\sin\angle ABN}=\dfrac{AB}{\sin\angle ANB},\dfrac{BM}{\sin\angle BAM}=\dfrac{AB}{\sin \angle AMB},$$ 所以 $$AN\cdot BM=AB^2\cdot \dfrac{\sin\angle ABN}{\sin\angle ANB}\cdot \dfrac{\sin \angle BAM}{\sin\angle AMB}=AB^2=2.$$ 事实上，由于$\angle ABN=\angle AMB$，$\angle NAB=\angle MBA$，于是$\triangle ABN$与$\triangle BMA$相似，即得．