每日一题[909]逐步减少参数

已知$a,b,c,d\geqslant -1$，$a+b+c+d=0$，则$ab+bc+cd$的最大值是_____．

---

正确答案是$\dfrac 54$．

分析与解　若$b\leqslant c$．则有

$$\begin{split} ab+bc+cd&=ab+bc-c(a+b+c)\\&=a(b-c)-c^2\\&\leqslant -(b-c)-c^2\\&=-\left(c-\dfrac 12\right)^2-b+\dfrac 14\\&\leqslant \dfrac 54,\end{split}$$ 等号当$(a,b,c,d)=\left(-1,-1,\dfrac 12,\dfrac 32\right)$取得．因此所求的最大值为$\dfrac 54$．

若$c\leqslant b$，那么我们将$a=-b-c-d$代入，与上面的步骤类似可以得到最大值为$\dfrac 54$．