每日一题[877]参差不齐

已知$- 6 \leqslant {x_i} \leqslant 10$（$i = 1, 2, \cdots , 10$），$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}} = 50$，当$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}^2}$取得最大值时，在${x_1}, {x_2}, \cdots , {x_{10}}$这$10$个数中等于$-6$的数共有_____个．

正确答案是$3$．

分析与解　法一

令$y_i=x_i+6,i=1,2,\cdots,10$，则 $$0\leqslant y_i\leqslant 16,\sum\limits_{i=1}^{10}y_i=110.$$ 于是 $$\sum_{i=1}^{10}x_i^2=\sum_{i=1}^{10}(y_i-6)^2=\sum_{i=1}^{10}y_i^2-12\sum_{i=1}^{10}y_i+360=\sum_{i=1}^{10}y_i^2-960.$$ 若$\sum\limits_{i=1}^{10}x_i^2$取得最大值，则$\sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2$取得最大值，不妨设$y_1\geqslant y_2\geqslant y_3\geqslant \cdots\geqslant y_{10}$，先用反证法证明$y_{10}=0$：

否则$y_{10}>0$，易知$y_9<16$：

(i) 若$y_9+y_{10}\leqslant 16$，则取$z_i=y_i,i=1,2,\cdots,8$，$z_9=y_9+y_{10}$，$z_{10}=0$，则 $$\sum\limits_{i=1}^{10}z_i^2-\sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2=(y_9+y_{10})^2-y_9^2-y_{10}^2=2y_9y_{10}>0;$$
(ii)若$y_9+y_{10}>16$，则取$z_i=y_i,i=1,2,\cdots,8$，$z_9=16$，$z_{10}=y_9+y_{10}-16$，则 $$\begin{split} \sum\limits_{i=1}^{10}z_i^2-\sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2=&16^2+(y_9+y_{10}-16)^2-y_9^2-y_{10}^2\\=&(16+y_9)(16-y_9)+(y_9+2y_{10}-16)(y_9-16)\\=&2(16-y_9)(16-y_{10})>0;\end{split}$$
综合(i)(ii)可知，若$\sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2$取得最大值，则$y_{10}=0$．

同理可推得$y_9=0,y_8=0$，而若$y_7=0$，则$y_1+y_2+\cdots+y_6=110$，而$y_1+y_2+\cdots+y_6\leqslant 16\times 6=96$，矛盾，所以$y_7>0$．

令$y_1=y_2=\cdots=y_6=16$，$y_7=14$，$y_8=y_9=y_{10}=0$，满足题意，所以答案为$3$．

法二　如果当$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}^2}$取得最大值时，在$x_i$中存在两个数$x_i,x_j\in(-6,10),x_i\leqslant x_j$，则令$x=\min\{10-x_j,x_i+6\}$，则$x>0$，且$x_i-x\geqslant -6,x_j+x\leqslant 10$，且有 $$(x_i-x)^2+(x_j+x)^2=x_i^2+x_j^2+2x^2+2x(x_j-x_i)>x_i^2+x_j^2,$$ 矛盾，所以$x_i,i=1,2,\cdots,10$中至多只有一个数不等于$-6$或$10$．

假设其中有$x$个$-6$，则有$9-x$个$10$，剩下的一个数为 $$50-(-6)x-10(9-x)=16x-40\in(-6,10),$$ 解得$x=3$．

注　本题就是在平均数确定的情况下，判断何时方差有最大值．