每日一题[853]函数的不动点

对于函数$f(x)$，方程$f(x)=x$的根称为$f(x)$不动点．

(1)证明：若$f\left( {f\left( x \right)} \right)$有唯一不动点，则$f\left( x \right)$也有唯一不动点．

(2)已知函数$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$（$a \ne 0$），且$f\left( x \right)$没有不动点．那么$f\left( {f\left( x \right)} \right)$是否有不动点？证明你的结论．

分析与解　(1)$f(x)$的不动点一定是$f(f(x))$的不动点，所以只需要证明$f(x)$的不动点存在即可：

设$a$为$f(f(x))$的不动点，即$f(f(a))=a$，令$b=f(a)$，则有$f(b)=a$，从而$f(f(b))=f(a)=b$，所以$b$也是$f(f(x))$的不动点，而$f(f(x))$的不动点唯一，所以$a=b$，即$f(a)=a$，所以$a$也是$f(x)$的不动点，即$f(x)$存在不动点．

(2)没有不动点，证明如下：

因为$f(x)-x=0$无实数，而$y=f(x)-x$为二次函数，所以$f(x)>x$或$f(x)<x$恒成立．

若$f(x)>x$，则$f(f(x))>f(x)>x$；

若$f(x)<x$，则$f(f(x))<f(x)<x$；

所以$f(f(x))=x$也没有实根，即$f(f(x))$没有不动点．

更多相关问题见每日一题[35]二阶不动点．