每日一题[782]直线与双曲线

已知直线$y=\dfrac{2\sqrt 5}5x$与双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)交于$A,B$两点，若在双曲线上存在点$P$，使得$|PA|=|PB|=\dfrac{\sqrt 3}2|AB|$，则双曲线的离心率$e$为______．

---

正确答案是$\sqrt 3$．

分析与解　法一　不妨设$|OA|=1$，则$|OP|=\sqrt 2$．进而可设$A(\cos\theta,\sin\theta)$，$P\left(\sqrt 2\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right),\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right)$，其中$\tan\theta=\dfrac{2\sqrt 5}5$．这样就有

$$\begin{cases} \dfrac{\cos^2\theta}{a^2}-\dfrac{\sin^2\theta}{b^2}=1,\\\dfrac{\left[\sqrt 2\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right]^2}{a^2}-\dfrac{\left[\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right]^2}{b^2}=1,\end{cases}$$ 即
$$\begin{cases}\dfrac {5}{9a^2}-\dfrac{4}{9b^2}=1,\\\dfrac{4}{9a^2}-\dfrac{5}{9b^2}=\dfrac 12,\end{cases}$$
解得 $$a^2=\dfrac 13,b^2=\dfrac 23,$$ 于是$e^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^2}=3$，所求离心率$e=\sqrt 3$．

法二　显然点$P$在$AB$的中垂线上，考虑$OP$与双曲线交于另一点$Q$，则$PQ$的方程为$y=-\dfrac {\sqrt 5}2x$，为了避免重复联立，我们联立直线$y=kx$与双曲线的方程：

$$\begin{cases} y=kx,\\b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2,\end{cases}$$ 解得$x^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2k^2},$于是 $$\dfrac{|AB|^2}{|PQ|^2}=\dfrac 12=\dfrac {(1+k^2)\cdot\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2k^2}}{\left(1+\dfrac 1{k^2}\right)\cdot\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2\left(-\dfrac 1k\right)^2}},$$ 将$k^2=\dfrac 45$代入整理得$b^2=2a^2$，于是所求离心率为$\sqrt 3$．