每日一题[688]一个萝卜一个坑

2011年北京市朝阳区高考二模：

若集合$B$是集合$A=\{1,2,3,\cdots ,23\}$的$12$元子集，且存在$a,b\in B$，$b<a$，$b\mid a$，则称$B$为“和谐集”．求最大的$m\in A$，使包含$m$的集合$A$的有$12$个元素的任意子集为“和谐集”．

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分析与解　最大的$m=7$．

从非“和谐集”

$$\{12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23\}$$ 出发可得符合条件的$m\leqslant 11$．将其调整，$22\to 11$，$20\to 10$，$18\to 9$，$16\to 8$，这样就得到了符合条件的$m\leqslant 7$．接下来证明$m=7$符合题意．将集合$A$除$7$以外的元素划分为 $$\begin{split} A_1&=\{23,19,15,17,13\},\\A_2&=\{22,11\},\\A_3&=\{20,10,5\},\\A_4&=\{18,9,3\},\\A_5&=\{16,8,4,2\}\\A_6&=\{12,6\}\\A_7&=\{14,1\},\end{split}$$ 则集合$A$的$12$元子集或者包含$A_7$中的元素，或者包含集合$A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$中的某个集合中有$2$个或$2$以上的元素，无论何种情形，该$12$元子集均为和谐集．