每日一题[689]双曲线的焦半径公式

过双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>0,b>0$)的一个焦点$F$作平行于渐近线的两直线,与双曲线分别交于$A,B$两点,若$|AB|=2a$,双曲线的离心率为$e$,则$\left[e^2\right]=$_______.


cover答案 $3$.

分析与解 设$\angle AFO =\theta$,则由双曲线的焦半径公式II,有$$|AF|=\dfrac{b^2}{a+c\cdot\cos\theta}=\dfrac{b^2}{2a},$$因此$$\sin\theta=\dfrac{a}{|AF|}=\dfrac{b}{c},$$从而$b^3=2a^2c$,不妨设$a=1$,$c=e$,$b=\sqrt{e^2-1}$,则$$\left(e^2-1\right)^3=4e^2.$$如图,可得$3<e^2<4$,于是$\left[e^2\right]=3$.
%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-10-13-%e4%b8%8a%e5%8d%889-08-45另法 由双曲线的对称性知$AB\perp x$轴,不妨设$A$在$x$轴上方,则$A$点的坐标为$\left(-\dfrac {ac}{b},a\right)$,从而有$$k_{AF}=\dfrac {a}{-\dfrac{ac}{b}+c}=\dfrac ba,$$整理得$$a^2=bc-ac=\sqrt{c^2-a^2}c-ac,$$从而知双曲线的离心率$e$满足$$e^3-e^2-e-1=0.$$记$f(x)=x^3-x^2-x-1$,则$$f'(x)=(x-1)(3x+1),$$所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增,而$$f(\sqrt 3)<0,f(2)>0,$$所以$e\in(\sqrt 3,2)$,从而有$\left[e^2\right]=3$.

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