每日一题[688]一个萝卜一个坑

2011年北京市朝阳区高考二模:

若集合$B$是集合$A=\{1,2,3,\cdots ,23\}$的$12$元子集,且存在$a,b\in B$,$b<a$,$b\mid a$,则称$B$为“和谐集”.求最大的$m\in A$,使包含$m$的集合$A$的有$12$个元素的任意子集为“和谐集”.


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分析与解 最大的$m=7$.

从非“和谐集”$$\{12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23\}$$出发可得符合条件的$m\leqslant 11$.将其调整,$22\to 11$,$20\to 10$,$18\to 9$,$16\to 8$,这样就得到了符合条件的$m\leqslant 7$.接下来证明$m=7$符合题意.将集合$A$除$7$以外的元素划分为\[\begin{split} A_1&=\{23,19,15,17,13\},\\A_2&=\{22,11\},\\A_3&=\{20,10,5\},\\A_4&=\{18,9,3\},\\A_5&=\{16,8,4,2\}\\A_6&=\{12,6\}\\A_7&=\{14,1\},\end{split} \]则集合$A$的$12$元子集或者包含$A_7$中的元素,或者包含集合$A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$中的某个集合中有$2$个或$2$以上的元素,无论何种情形,该$12$元子集均为和谐集.

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