每日一题[666]以小见大

(1) 求证：$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{3^n}\geqslant \dfrac {7+4n}6$；
(2) 求证：$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{2^n}\geqslant \dfrac{11+7n}{12}$．

分析　(1)当$n=1$时，左边等于$1+\dfrac 12+\dfrac 13=\dfrac {11}6$；当$n=2$时，左边增加了 $$\dfrac 14+\dfrac 15+\dfrac 16+\dfrac 17+\dfrac 18+\dfrac 19,$$ 要证明这个和式大于$\dfrac 23$，我们发现只需要将所有分数缩小到$\dfrac 19$即可，于是找到放缩的思路．

证明　(1) 由于 $$\dfrac{1}{3^k+1}+\dfrac 1{3^k+2}+\cdots +\dfrac 1{3^{k+1}}\geqslant \dfrac 1{3^{k+1}}+\dfrac 1{3^{k+1}}+\cdots +\dfrac 1{3^{k+1}}=\dfrac 23,$$ 于是令$k=1,2,\cdots ,n-1$，可得 $$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac{1}{3^n}\geqslant 1+\dfrac 12+\dfrac 13+\dfrac 23(n-1)=\dfrac {7+4n}6.$$

分析　(2)当$n=1$时，左边等于 $$1+\dfrac 12=\dfrac 32=\dfrac {11+7}{12};$$ 当$n=2$时，左边增加了$\dfrac 13+\dfrac 14=\dfrac 7{12}$；当$n=3$时，只需要证明左边增加的 $$\left(\dfrac 15+\dfrac 16\right )+\left(\dfrac 17+\dfrac 18\right )\geqslant \dfrac 13+\dfrac 14$$ 即可；当$n=4$时，只需要证明 $$\left(\dfrac 19+\dfrac 1{10}+\dfrac 1{11}+\dfrac 1{12}\right )+\left(\dfrac 1{13}+\dfrac 1{14}+\dfrac 1{15}+\dfrac 1{16}\right )\geqslant \dfrac 13+\dfrac 14$$ 即可，于是找到放缩思路．

证明　(2)由于 $$\begin{split}&\dfrac{1}{2^k+1}+\dfrac{1}{2^k+2}+\cdots+\dfrac{1}{2^k+2^{k-1}}+\dfrac{1}{2^k+2^{k-1}+1}+\cdots+\dfrac{1}{2^k+2^k}\\\geqslant &\dfrac{2^{k-1}}{2^k+2^{k-1}}+\dfrac{2^{k-1}}{2^{k+1}}=\dfrac{7}{12},\end{split}$$
于是令$k=1,2,\cdots,n-1$，可得 $$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1{2^n}\geqslant 1+\dfrac 12+\dfrac{7}{12}(n-1)=\dfrac {11+7n}{12}.$$