每日一题[642]换元的妙用

已知实数$a,b$满足$a^2\geqslant 4b$，求$(1-a)^2+(a-b)^2+(1-b)^2$的最小值．

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分析与解　设$a=x+y$，$b=xy$，其中$x,y\in\mathcal R$，则

$$\begin{split} (1-a)^2+(a-b)^2+(1-b)^2&=2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2\\ &=2(x+y)^2+2x^2y^2-2xy(x+y)-2(x+y)-2xy+2\\ &=2\left(x^2y^2-x^2y-xy^2+x^2+y^2+xy-x-y+1\right)\\ &=2\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\\ &\geqslant 2\cdot \dfrac 34\cdot \dfrac 34=\dfrac 98,\end{split}$$ 等号当且仅当$x=y=\dfrac 12$，即$a=1,b=\dfrac 14$时取得．

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利用换元处理掉题中难以直接应用的限制条件是解决问题的关键．最后给出一道练习：

练习　已知$a,b\in\mathcal R$，$a^3+b^3=1$，求$a+b$的取值范围．

解　设$a+b=x$，$ab=y$，且$x^2\geqslant 4y$，则

$$1=a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=x^3-3xy,$$ 于是可得$y=\dfrac 13\left(x^2-\dfrac 1x\right)$，从而 $$\dfrac 43\left(x^2-\dfrac 1x\right)\leqslant x^2,$$ 解得$x$的取值范围是$\left(0,\sqrt[3]{4}\right]$，即$a+b$的取值范围．