已知a+b+c=1,a,b,c⩾0,求(c−a)(c−b)的取值范围.
解 法一 所求代数式的最大值容易求出:(c−a)(c−b)⩽c2⩽1,等号当a=b=0,c=1时同时取得,因此所求代数式的最大值为1;
接下来研究最小值,此时c必然在a,b之间,不妨设a⩽c⩽b,则(c−a)(c−b)=−(c−a)(b−c).考虑用均值不等式−(c−a)(b−c)⩾−(b−a2)2⩾−14,等号当c−a=b−c,b=1,a=0时取得,显然此时a+b+c=32,不符合题意.
分析失败原因,可知第一步均值不等式后代数式中还有两个变元,接下来会出现取等条件多于未知数个数的情形,因此可以作调整:−(c−a)(b−c)=−12⋅(2c−2a)(b−c)⩾−12(b+c−2a2)2=−(1−3a)28⩾−18,等号当a=0,b=34,c=14时取得.
综上,考虑到连续性,可得所求代数式的取值范围是[−18,1].
法二(由大雨瓢泼提供)
由a+b+c=1得到(c−a)(c−b)=2c2−c+ab.又由题意知0⩽ab=a(1−a−c)⩽(1−c2)2,当a=0时第一个等号成立,当a=1−c2时第二个等号成立.于是有(c−a)(c−b)⩾2c2−c=2(c−14)2−18⩾−18,当c=14时取到等号;且(c−a)(c−b)⩽2c2−c+(1−c2)2=94(c−13)2⩽1,当c=1时取到等号.
综上知(c−a)(c−b)∈[−18,1].
注 也可以引入参数使用均值不等式.