每日一题[532]船到桥头自然直

已知$a+b+c=1$，$a,b,c\geqslant 0$，求$(c-a)(c-b)$的取值范围．

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 解    法一　所求代数式的最大值容易求出：

$$(c-a)(c-b)\leqslant c^2\leqslant 1,$$ 等号当$a=b=0$，$c=1$时同时取得，因此所求代数式的最大值为$1$；

接下来研究最小值，此时$c$必然在$a,b$之间，不妨设$a\leqslant c\leqslant b$，则

$$(c-a)(c-b)=-(c-a)(b-c).$$ 考虑用均值不等式 $$-(c-a)(b-c)\geqslant -\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2\geqslant -\dfrac 14,$$ 等号当$c-a=b-c$，$b=1$，$a=0$时取得，显然此时$a+b+c=\dfrac 32$，不符合题意．

分析失败原因，可知第一步均值不等式后代数式中还有两个变元，接下来会出现取等条件多于未知数个数的情形，因此可以作调整：

$$-(c-a)(b-c)=-\dfrac 12\cdot (2c-2a)(b-c)\geqslant -\dfrac 12\left(\dfrac{b+c-2a}{2}\right)^2=-\dfrac {(1-3a)^2}{8}\geqslant -\dfrac 18,$$ 等号当$a=0$，$b=\dfrac 34$，$c=\dfrac 14$时取得．

综上，考虑到连续性，可得所求代数式的取值范围是$\left[-\dfrac 18,1\right]$．

法二（由大雨瓢泼提供）

由$a+b+c=1$得到

$$(c-a)(c-b)=2c^2-c+ab.$$ 又由题意知 $$0\leqslant ab=a(1-a-c)\leqslant \left(\dfrac {1-c}{2}\right )^2,$$ 当$a=0$时第一个等号成立，当$a=\dfrac {1-c}{2}$时第二个等号成立．于是有 $$(c-a)(c-b)\geqslant 2c^2-c=2\left(c-\dfrac 14\right )^2-\dfrac 18\geqslant -\dfrac 18,$$ 当$c=\dfrac 14$时取到等号；且 $$(c-a)(c-b)\leqslant 2c^2-c+\left(\dfrac {1-c}{2}\right )^2=\dfrac 94\left(c-\dfrac 13\right )^2\leqslant 1,$$ 当$c=1$时取到等号．

综上知$(c-a)(c-b)\in\left[-\dfrac 18,1\right ]$．

注    也可以引入参数使用均值不等式．