每日一题[532]船到桥头自然直

已知a+b+c=1a,b,c0,求(ca)(cb)的取值范围.


cover     法一 所求代数式的最大值容易求出:(ca)(cb)c21,等号当a=b=0c=1时同时取得,因此所求代数式的最大值为1

接下来研究最小值,此时c必然在a,b之间,不妨设acb,则(ca)(cb)=(ca)(bc).考虑用均值不等式(ca)(bc)(ba2)214,等号当ca=bcb=1a=0时取得,显然此时a+b+c=32,不符合题意.

分析失败原因,可知第一步均值不等式后代数式中还有两个变元,接下来会出现取等条件多于未知数个数的情形,因此可以作调整:(ca)(bc)=12(2c2a)(bc)12(b+c2a2)2=(13a)2818,等号当a=0b=34c=14时取得.

综上,考虑到连续性,可得所求代数式的取值范围是[18,1]

法二(由大雨瓢泼提供)

a+b+c=1得到(ca)(cb)=2c2c+ab.又由题意知0ab=a(1ac)(1c2)2,a=0时第一个等号成立,当a=1c2时第二个等号成立.于是有(ca)(cb)2c2c=2(c14)21818,c=14时取到等号;且(ca)(cb)2c2c+(1c2)2=94(c13)21,c=1时取到等号.

综上知(ca)(cb)[18,1]

   也可以引入参数使用均值不等式.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复