每日一题[71] 常数变易

已知$x^2+y^2=25$，则

$$\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}$$ 的最大值为_______．

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正确答案是$6\sqrt {10}$．

将$25=x^2+y^2$代入，有

$$\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}=\sqrt{(x-3)^2+(y+4)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y+4)^2}.$$

于是问题转化为圆$x^2+y^2=25$上一点到点$(3,-4)$和$(-3,-4)$的距离之和的最大值，不难求出当$x=0\land y=5$时取得最大值为 $6\sqrt {10}$．

下面给出一道练习题．

解方程：$x^4-x^2+8x-16=0.$

提示    将方程看作

$$4^2-2x\cdot 4+\left(-x^4+x^2\right)=0.$$