每日一题[510]何必自挂东南枝

已知a1=1b1=1an+1=anbn+1bn+1=bn14a2n,求数列{an}{bn}的通项公式.


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分析与解    若消bn,则有an+1an=anan114a2n,

an+1a2n=1an1(14a2n),
接下来无从下手,转而选择消去an

根据已知,有4a2n=1bnbn+1,

4a2n+1=4a2nb2n+1,
从而1bn+1bn+2=(bn+1bn)bn+1,
从而bn+1+1bn+2=bn+1bn+1,
因此数列{bn+1bn+1}为常数列,有bn+1bn+1=2,
于是1bn+11=1bn11,
因此可以求得1bn1=n+12,
化简得bn=2n32n1.
进而an=bnbn1b2a1=12n1.

综上,数列{an}{bn}的通项公式为an=12n1,bn=2n32n1.

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