每日一题[509]抛物线的几何平均性质

如图，过抛物线$y^2=4x$的焦点$F$作抛物线的两条弦$AB,CD$，设直线$AC$与$BD$的交点为$P$，直线$AC,BD$分别与$y$轴交于$M,N$．

（1）求证：$P$点恒在准线上；

（2）求证：四边形$PMFN$为平行四边形．

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证明     设$A(4a^2,4a)$，$D(4b^2,4b)$．由抛物线的几何平均性质，可得$B\left(\dfrac1{4a^2},-\dfrac 1a\right)$，$C\left(\dfrac{1}{4b^2},-\dfrac 1b\right)$，则可得直线

$$AC:y=\dfrac{4b}{4ab-1}x-\dfrac{4a}{4ab-1},$$ 于是直线 $$BD:y=\dfrac{4a}{4ab-1}x-\dfrac{4b}{4ab-1},$$ 且 $$M\left(0,-\dfrac{4a}{4ab-1}\right),N\left(0,-\dfrac{4b}{4ab-1}\right).$$

（1）联立直线$AC$与直线$BD$的方程可得$P$点的横坐标为定值$-1$；

（2）易得直线$AC$的斜率与直线$FN$的斜率相等，且直线$BD$的斜率与直线$FM$的斜率相等，因此四边形$PMFN$为平行四边形．