每日一题[503]裂项求和

已知数列$\{a_n\}$中$a_1>2$，$a_{n+1}=a_n^2-2$．

（1）求证：$\{a_n\}$是单调递增数列；

（2）设$b_n=\dfrac{1}{a_1a_2\cdots a_n}$，且$\{b_n\}$的前$n$项和小于$\dfrac 12$，求$a_1$的取值范围．

分析    考虑到递推公式即 $$\dfrac 12a_{n+1}=2\left(\dfrac 12a_n\right)^2-1,$$ 于是令$\dfrac 12a_n=\cosh x_n$，其中$\cosh x=\dfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}2$（即双曲余弦函数），则$x_{n+1}=2x_n$，因此可以将$a_1$改写为$a+\dfrac 1a$的形式，以利于递推．

证明与解    （1）令$a_1=a+\dfrac 1a$，其中$0<a<1$，则易得 $$a_n=a^{2^{n-1}}+\dfrac{1}{a^{2^{n-1}}},$$ 从而$a_n>2$．因此 $$a_{n+1}-a_n=(a_n-2)(a_n+1)>0,$$ 于是$\{a_n\}$是单调递增数列．

（2）根据第（1）小题的结果，有 $$\begin{split} b_n&=\dfrac{a^{1+2+\cdots+2^{n-1}}}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^n})}\\ &=\dfrac{a^{2^n-1}}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^n})} \\ &=\dfrac 1a\left[\dfrac{1}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^{n-1}})}-\dfrac{1}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^{n-1}})(1+a^{2^n})}\right] ,\end{split}$$ 因此$\{b_n\}$的前$n$项和 $$\begin{split} S_n&=\dfrac 1a\left[1-\dfrac{1}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^n})}\right] \\ &=\dfrac 1a\left(1-\dfrac{1-a^2}{1-a^{2^{n+1}}}\right)\\ &=\dfrac{a-a^{2^{n+1}-1}}{1-a^{2^{n+1}}}.\end{split}$$ 由于$\{S_n\}$单调递增，因此只需要其极限 $$\lim_{n\to +\infty}S_n\leqslant \dfrac 12,$$ 即$a\leqslant \dfrac 12$，于是$a_1$的取值范围是$\left[\dfrac 52,+\infty\right)$．