每日一题[503]裂项求和

已知数列$\{a_n\}$中$a_1>2$,$a_{n+1}=a_n^2-2$.

(1)求证:$\{a_n\}$是单调递增数列;

(2)设$b_n=\dfrac{1}{a_1a_2\cdots a_n}$,且$\{b_n\}$的前$n$项和小于$\dfrac 12$,求$a_1$的取值范围.


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分析    考虑到递推公式即$$\dfrac 12a_{n+1}=2\left(\dfrac 12a_n\right)^2-1,$$于是令$\dfrac 12a_n=\cosh x_n$,其中$\cosh x=\dfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}2$(即双曲余弦函数),则$x_{n+1}=2x_n$,因此可以将$a_1$改写为$a+\dfrac 1a$的形式,以利于递推.

证明与解    (1)令$a_1=a+\dfrac 1a$,其中$0<a<1$,则易得$$a_n=a^{2^{n-1}}+\dfrac{1}{a^{2^{n-1}}},$$从而$a_n>2$.因此$$a_{n+1}-a_n=(a_n-2)(a_n+1)>0,$$于是$\{a_n\}$是单调递增数列.

(2)根据第(1)小题的结果,有\[\begin{split} b_n&=\dfrac{a^{1+2+\cdots+2^{n-1}}}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^n})}\\ &=\dfrac{a^{2^n-1}}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^n})} \\ &=\dfrac 1a\left[\dfrac{1}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^{n-1}})}-\dfrac{1}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^{n-1}})(1+a^{2^n})}\right] ,\end{split} \]因此$\{b_n\}$的前$n$项和\[\begin{split} S_n&=\dfrac 1a\left[1-\dfrac{1}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^n})}\right] \\ &=\dfrac 1a\left(1-\dfrac{1-a^2}{1-a^{2^{n+1}}}\right)\\ &=\dfrac{a-a^{2^{n+1}-1}}{1-a^{2^{n+1}}}.\end{split} \]由于$\{S_n\}$单调递增,因此只需要其极限$$\lim_{n\to +\infty}S_n\leqslant \dfrac 12,$$即$a\leqslant \dfrac 12$,于是$a_1$的取值范围是$\left[\dfrac 52,+\infty\right)$.

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