基本事件空间的列举

正确列举基本事件空间是解决古典概型问题的关键,在实际问题中,有时直接呈现的结果并不是基本事件,而是包含了一些基本事件的事件,比如:

投掷两枚完全相同的骰子,求它们的点数之和为$4$的概率.

两枚骰子的点数之和的所有可能的结果有$2,3,4,\cdots,12$,但这些结果却不是基本事件,还可以进行分解.比如点数之和为$4$,可能一颗骰子是$1$点,另外一颗骰子是$3$点;也可能两颗骰子都是$2$点.

那么两颗骰子的点数分别为$1,3$,这是一个基本事件吗?

仍然不是,事实上,它包含了两个基本事件$(1,3)$与$(3,1)$.

要搞清楚基本事件空间,需要将事件划分到最小,同时需要寻找一个合适的记录方式.比如在本题中,两颗骰子需要编号为骰子$A$与骰子$B$,将$A$的点数$x$与$B$的点数$y$用有序实数对记为$(x,y)$,那么每种结果$(x,y)$就是一个基本事件,出现每种结果的可能性都相同.(考虑到只学过高一必修$3$的同学,本文只用到计数中的加法原理与乘法原理,避开了更复杂的计数)


例题一 袋中有大小形状完全相同的三个红球和两个白球,

(1)从袋中一次任取两个球,求它们恰为一红一白的概率.

(2)从袋中无放回地任取两次,每次取一个球,求它们恰为一红一白的概率.

(3)从袋中有放回地任取两次,每次取一个球,求它们恰为一红一白的概率.

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分析与解 首先需要对这些球进行区分,我们记红球为$A_1,A_2,A_3$,白球为$B_1,B_2$,虽然这些球是完全相同的,但是为了记录基本事件,每个球都标记为不同的.

(1)一次任取两个球时,结果与顺序无关,记录基本事件用集合,基本事件空间包括$$\{A_1,A_2\},\{A_1,A_3\},\{A_1,B_1\},\{A_1,B_2\},\{A_2,A_3\},\cdots,\{B_1,B_2\},$$共$10$个元素.

其中恰好为一红一白的事件包含$6$个基本事件$$\{A_1,B_1\},\{A_1,B_2\},\{A_2,B_1\},\{A_2,B_2\},\{A_3,B_1\},\{A_3,B_2\},$$所以所求概率为$$P_1=\dfrac {6}{10}=\dfrac 35.$$

(2)无放回地任取两次,每次取一个球是与顺序相关的,记录基本事件用有序实数对,基本事件空间包括$$(A_1,A_2),(A_1,A_3),(A_1,B_1),(A_1,B_2),(A_2,A_1),\cdots,(B_2,B_1),$$共$20$个元素.

其中恰好为一红一白的事件包含$12$个基本事件,所以所求概率为$$P_2=\dfrac {12}{20}=\dfrac 35.$$

(3)有放回地任取两次,结果仍然是与顺序相关的,与(2)相比,多出了$5$个基本事件$$(A_1,A_1),(A_2,A_2),(A_3,A_3),(B_1,B_1),(B_2,B_2),$$所以基本事件空间包含$25$个元素,所求概率为$$P_3=\dfrac {12}{25}.$$

 (1)(2)的概率相同不是偶然的,从袋中一次任取两球可以是一次一次取,所以将(1)理解成有序的也完全没问题.但对于大部分问题来说,问题的本质都是有序的,即便题面呈现的是不需要考虑顺序或者不需要考虑球与球的不同,我们求概率时也认为物体是不同的,因为只有这样,才可能记录出基本事件,并满足古典概型的前提——每个基本事件的发生都是等可能的.


例题二 (1)同时抛掷三枚完全相同的骰子,记录它们的点数,求点数之和为$9$的概率;

(2)将一颗骰子先后抛掷三次,记录它们的点数,求点数之和为$9$的概率.

分析 掷骰子就相当于有放回地抽取,基本事件一定是有序的,不管是抛掷三枚骰子还是将一枚骰子投掷三次,基本事件的记录都是用有序数组,如$(6,3,2)$,所以这里的(1)(2)是同一个问题,只是在(1)中,这三个数分别对应三颗编了号的骰子的点数,在(2)中,这三个数分别对应三次抛掷后记录的点数.

 基本事件空间包含的基本事件数有$6\times 6\times 6=216$个.对$9$进行分解得$$9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3,$$如果三颗骰子点数不同,如$1,2,6$,则包含的基本事件有$6$个$$(1,2,6),(1,6,2),(2,1,6),(2,6,1),(6,1,2),(6,2,1),$$如果三颗骰子中有两颗骰子点数相同,如$1,4,4$,则对应的基本事件有$3$个$$(1,4,4),(4,1,4),(4,4,1),$$如果三颗骰子点数均相同,对应的基本事件只有一个,故点数之和为$9$对应的基本事件数为$$6+6+3+3+6+1=25,$$从而所求概率为$$P=\dfrac{25}{216}.$$


最后给出两道练习:

练习一 箱中有三个正品,一个次品,从箱中随机抽取产品进行检验.

(1)若从中一次抽取两件产品,求两件均是正品的概率;

(2)若从中不放回地抽取两次,每次抽取一件产品,求两件均是正品的概率;

(3)若从中有放回地抽取两次,每次抽取一件,求两件均是正品的概率.

答案 (1)$\dfrac 12$;(2)$\dfrac 12$;(3)$\dfrac {9}{16}$.


练习二 袋中装有大小、形状均相同的六个球,其中编号为$1$的球有$1$个,编号为$2$的球有$2$个,编号为$3$的球有$3$个.

(1)从中任取两个球,求两个球的编号数字之和为$4$的概率;

(2)从中有放回地取两次球,每次取一个记下编号,求两次所取球的编号数字和为$4$的概率.

答案 (1)$\dfrac {4}{15}$;(2)$\dfrac 5{18}$.

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