每日一题[480]狡兔三窟

设$F_1,F_2$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的焦点，椭圆的弦$AB$过焦点$F_1$，求$\triangle ABF_2$面积的最大值．

解法一    仿射变换

考虑将椭圆变成圆解决问题，如图，将所有点的纵坐标变为原来的$\dfrac ab$倍，则 $$S_{\triangle ABF_2}=\dfrac ba\cdot S_{\triangle A'B'F_2},$$ 于是只需要求圆中$\triangle A'B'F_2$的面积的最大值．

连接$OA',OB'$，取$A'B'$的中点$M$，设$OM=d$，则$d\in\left(0,c\right]$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$，且 $$S_{\triangle A'B'F_2}=2S_{\triangle A'B'O}=2\cdot \sqrt{d^2(a^2-d^2)},$$ 若$c\geqslant \dfrac{a}{\sqrt 2}$，即$e\geqslant \dfrac {\sqrt 2}2$，则 $$S_{\triangle ABF_2}\leqslant \dfrac ba\cdot 2\cdot\dfrac{(a^2-d^2)+d^2}2 =ab;$$ 若$c<\dfrac{a}{\sqrt 2}$，即$e<\dfrac{\sqrt 2}2$，则 $$S_{\triangle ABF_2}\leqslant \dfrac ba\cdot 2\cdot\sqrt{(a^2-c^2)c^2}=\dfrac{2b^2c}a=\dfrac{2b^2\sqrt{a^2-b^2}}a.$$

综上所述，当$a\geqslant \sqrt 2b$时，所求面积的最大值为$ab$；当$a<\sqrt 2b$时，所求面积的最大值为$\dfrac{2b^2\sqrt{a^2-b^2}}a$．

解法二    焦点弦长公式

设$AB$的倾斜角为$\theta$，则 $$AB=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta},$$ 于是 $$S_{\triangle ABF_2}=\dfrac 12\sin\theta\cdot 2c\cdot \dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta},$$ 以下略．

解法三    海伦公式

设$AF_1=m$，$BF_1=n$，则由椭圆的性质可得 $$\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac{2a}{b^2},$$ 于是 $$mn=\dfrac{b^2}{2a}\cdot AB.$$ 根据海伦公式，有 $$\begin{split} S_{\triangle ABF_2}&=\sqrt{2a\cdot (2a-AB)\cdot (2a-BF_2)\cdot (2a-AF_2)}\\ &=\sqrt{2a(2a-AB)\cdot mn} \\ &=b\cdot \sqrt{(2a-AB)\cdot AB},\end{split}$$ 以下略．