每日一题[420]求和估计

已知$S=\dfrac{\pi}{20000}\cdot\left(\sin\dfrac{\pi}{20000}+\sin\dfrac{2\pi}{20000}+\sin\dfrac{3\pi}{20000}+\cdots+\sin\dfrac{10000\pi}{20000}\right)$，推测下列各值中与$S$最接近的是（        ）

A．$0.9988$

B．$0.9999$

C．$1.0001$

D．$2.0002$

正确答案是C．

解　观察$S$的形式，我们将区间$\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ]$进行$10000$等分，以得到的横坐标对应的$f(x)$图象上的点记为 $$A_k,k=0,1,2,\cdots,10000,$$ 即$A_k\left(\dfrac {k\pi}{20000},\sin\dfrac {k\pi}{20000}\right )$，过这些点作$x$轴的平行线，得到如下图的小矩形（示意图，$8$等分了区间）：

于是$S$为这些小矩形的面积之和，所以 $$S>\int_{0}^{\frac {\pi}{2}}\sin x\mathrm{d}x=1.$$ 其次，我们来估计多出的面积有多少，这需要用到正弦函数图象特点（即凹凸性），依次连接$A_kA_{k+1}$，得到很多小的直角三角形，多出来的面积比这些小直角三角形的面积之和小，如下图：

这些小的直角三角形有一条相等的边，故面积之和为 $$\dfrac 12\times \dfrac {\pi}{20000}\times 1<10^{-4}.$$ 综上$1<S<1.0001$，C正确．

利用积分可能处理很多级数不等式相关的问题，见证明级数不等式的积分放缩法．