每日一题[399]裂项求和

已知函数$f(x)$是定义在区间$(-1,1)$上的函数，且满足下列性质：

①$f(x)$是定义在区间$(-1,1)$上的增函数；

②对于定义域内的任意实数$x,y$满足

$$f(x)+f(y)=f\left(\dfrac {x+y}{1+xy}\right ).$$ （1）求$f(0)$的值，判断并证明$f(x)$的奇偶性；

（2）若$f\left(\dfrac 12\right )=1$，试比较

$$f\left(\dfrac 15\right )+f\left(\dfrac {1}{11}\right )+f\left(\dfrac {1}{19}\right )+f\left(\dfrac {1}{29}\right )+\cdots+f\left(\dfrac {1}{89}\right )$$ 与$1$的大小．

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分析　第（1）小题比较简单，直接赋值即可：

令$x=y=0$得$f(0)=0$；令$y=-x$，得$f(x)$为奇函数；

关键是第（2）小题的求和，尝试倒序相加，没有结果；分析要求和函数值对应的自变量

$$\dfrac 15,\dfrac {1}{11},\dfrac {1}{19},\cdots,\dfrac {1}{89},$$ 它们的通项公式为 $$a_n=\dfrac {1}{n^2+n-1},n=2,3,\cdots,9.$$

尝试对通项进行裂项

$$\dfrac {1}{n^2+n-1}=\dfrac {\frac{1}{n^2+n}}{1-\frac{1}{n^2+n}}=\dfrac {\frac 1n-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n(n+1)}}.$$

再借助题目中的式子，将自变量的裂项转化成函数值的裂项即可．

解　（2）由（1）知

$$f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f\left(\dfrac {x-y}{1-xy}\right ).$$ 又因为

$$\dfrac {1}{n^2+n-1}=\dfrac {\frac 1n-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n(n+1)}},$$

所以

$$f\left(\dfrac {1}{n^2+n-1}\right )=f\left(\dfrac 1n\right )-f\left(\dfrac {1}{n+1}\right ).$$ 记 $$S=f\left(\dfrac 15\right )+f\left(\dfrac {1}{11}\right )+f\left(\dfrac {1}{19}\right )+f\left(\dfrac {1}{29}\right )+\cdots+f\left(\dfrac {1}{89}\right ),$$ 则 $$\begin{split} S&=f\left(\dfrac 12\right )-f\left(\dfrac 13\right )+f\left(\dfrac 13\right )-f\left(\dfrac 14\right )+\cdots+f\left(\dfrac 19\right )-f\left(\dfrac {1}{10}\right )\\&=f\left(\dfrac 12\right )-f\left(\dfrac {1}{10}\right ).\end{split}$$ 因为$f(x)$是$(-1,1)$上的增函数，所以 $$f\left(\dfrac {1}{10}\right )>f(0)=0,$$ 所以$S<f\left(\dfrac 12\right )=1$．