每日一题[398]各个击破

如图，用四种不同颜色给图中的$A,B,C,D,E,F$六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有_____．

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正确答案是$264$．

分析　涂色问题的关键是合理的分类与分步，可以逐点涂色，遇到某个点涂色的方式影响到另外一个点的涂色时再分类．但对于比较复杂的涂色问题，直接逐点涂色需要分类的情况可能太多，比如这道题（有勇气可以试试选定颜色后逐点涂色的方法）．这时可以考虑“打包”一个单元（某些点），以这个单元的涂色情况作为分类标准，将六个点的涂色问题转化成先处理较少点的涂色问题，再考虑剩下的其它点的涂色，化解讨论的复杂度，下面以选择两种不同的单元为例具体说明．

解　法一　选择$ABCD$为一个单元进行讨论．

①如果$ABCD$涂$4$种颜色．

第一步涂$ABCD$，有$\mathrm{A}_4^4=24$种涂色方式；第二步涂$E$，有$2$种方式；因为$E$必与$B$或$C$颜色相同，所以第三步涂$F$也有$2$种方式．所以共有

$$24\times 2\times 2=96$$ 种涂色方式；

②如果$ABCD$涂$3$种颜色．

第一步涂$ABCD$，有

$$\mathrm{C}_4^3\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{A}_2^2=48$$ 种方式（选出三色、选出要用两次的颜色、选出涂同色的端点、涂剩下的端点）；第二步涂$E、F$，直接列举，有$3$种方式．共有$48\times 3=144$种涂色方式；

③如果$ABCD$涂$2$种颜色．

第一步涂$ABCD$， 有$\mathrm{A}_4^2=12$种方式；第二步涂$E,F$，只有$2$种方式．共有$12\times 2=24$种方式；

所以，所有的涂色方式有$96+144+24=264$种；

法二　选择$ADEF$为一个单元进行讨论．

①如果$ADEF$涂$4$种颜色．

第一步涂$ADEF$有$\mathrm{A}_4^4=24$种方式；第二步涂$B,C$，直接列举知有$3$种．共有$24\times 3=72$种方式；

②如果$ADEF$涂$3$种颜色．

第一步涂$ADEF$有

$$\mathrm{C}_4^3\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{A}_2^2=48$$ 种方式；第二步涂$B,C$，有$4$种方式．共有$48\times 4=192$种方式．

所以，所有的涂色方式有$72+192=264$种；

当然，还可以选择其它单元去讨论，各个击破，将一个复杂的讨论转化成简单的多次讨论，得到结果．

注　本题为2010年高考天津理科第10题（选择压轴题）．