每日一题[349]三角形的外心与向量

设$O$为$\triangle ABC$的外心,$x \overrightarrow {OA}+y\overrightarrow {OB}+z\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0}$,$xyz\ne 0$,$C$为$\triangle ABC$的内角,则$\cos{2C}=$_____.(用$x,y,z$表示)


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正确答案是$\dfrac {z^2-x^2-y^2}{2xy}$.

 由题意知当$C$为锐角或直角时,有$$\langle \overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}\rangle=2C;$$当$C$为钝角时,有$$\langle \overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}\rangle=2\pi-2C;$$记$\langle \overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}\rangle=\theta$,则有$\cos{2C}=\cos\theta$,不妨设$\triangle ABC$的外接圆半径为$1$,如图(在本题的条件下,$C$不可能为直角):

屏幕快照 2015-12-29 下午3.54.33

要得到$\cos\theta$,我们将条件$x \overrightarrow {OA}+y\overrightarrow {OB}+z\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0}$移项得:$$-z\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow {OB},$$  将上式两边平方(即与自身作数量积)得$$z^2=x^2+y^2+2xy\cos\theta,$$从而有$\cos2C=\cos\theta=\dfrac {z^2-x^2-y^2}{2xy}$.

事实上,$\triangle ABC$的外心$O$都满足$$\sin 2A\overrightarrow {OA}+\sin 2B\overrightarrow {OB}+\sin{2C}\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0},$$所以有$x:y:z=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C$,可以构造出另一个三角形$A'B'C'$:

当$\triangle ABC$为锐角三角形时,$$A'=\pi-2A,B'=\pi-2B,C'=\pi-2C,$$从而有$\triangle A'B'C'$的三边$a',b',c'$满足$$a':b':c'=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C=x:y:z,$$故$$\cos 2C=-\cos C'=-\dfrac {x^2+y^2-z^2}{2xy}.$$当$\triangle ABC$为钝角三角形时,不妨设$A$为钝角,可以令$$A'=2A-\pi,B'=2B,C'=2C,$$类似可得$\cos 2C$的值.

关于三角形“五心”的向量表达的更多问题见每日一题[9] “奔驰定理”与五心的向量表达每日一题[10]用向量法解“五心”题每日一题[80]利用向量处理外心

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