每日一题[348]沟通的桥梁

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在$x$轴上,左右焦点分别为$F_1,F_2$,且它们在第一象限的交点为$P$,$\triangle PF_1F_2$是以$PF_1$为底边的等腰三角形,若双曲线的离心率的取值范围为$(1,2)$,则该椭圆的离心率的取值范围是_____.


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正确答案是$\left(\dfrac 13,\dfrac 25\right )$.

 本题中椭圆与双曲线的半焦距长相等,设为$c$,设椭圆的长半轴长为$a_1$,离心率为$e_1$,双曲线的实半轴长为$a_2$,离心率为$e_2$.因为点$P$同时在椭圆与双曲线上,所以根据椭圆与双曲线的定义,我们就可以得到$\triangle PF_1F_2$的边长的多个关系式,进而得到$a_1,a_2,c$的联系,导出离心率$e_1,e_2$的大小关系,得到结论.如图:

屏幕快照 2015-12-29 下午2.27.35

设$|PF_1|=2m$,$|PF_2|=2n$,由椭圆与双曲线的定义知$$2m+2n=2a_1,2m-2n=2a_2,2n=2c,$$从而有$$n=c,a_1=m+c,a_2=m-c.$$于是有\[e_1=\dfrac {c}{m+c},e_2=\dfrac {c}{m-c}.\]从而得到$\dfrac {1}{e_1}-\dfrac {1}{e_2}=2$,由$e_2\in(1,2)$得到$e_1\in\left(\dfrac 13,\dfrac 25\right )$.


下面给出一道练习:

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在$x$轴上,左右焦点分别为$F_1,F_2$,且它们在第一象限的交点为$P$,$\triangle PF_1F_2$是以$PF_2$为底边的等腰三角形,若双曲线的离心率的取值范围为$(1,2)$,则该椭圆的离心率的取值范围是_____.

答案 $\left(\dfrac 23,1\right )$.

提示 如图,由椭圆与双曲线的定义可以得到$\dfrac {1}{e_1}+\dfrac {1}{e_2}=2.$

屏幕快照 2015-12-29 下午2.22.09

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