每日一题[347]抽象与具体

已知$f(x)$的定义域为$\mathcal{R}$，$f(1)=\dfrac 14$，且满足

$$4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),$$ 则$f(2016)=$_____．

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正确答案是$\dfrac 12$．

解　抽象函数问题的常见思路是借助合理的赋值得到结果．

令$y=1$得

$$f(x)=f(x+1)+f(x-1),$$ 于是有$f(x+1)=f(x)-f(x-1)$，从而 $$f(x)=f(x-1)-f(x-2),$$ 于是得到$f(x+1)=-f(x-2)$，即$f(x+3)=-f(x)$，所以 $$f(x+6)=-f(x+3)=f(x),$$ 即$f(x)$是周期为$6$的函数．于是$f(2016)=f(0)$．令$y=0$得 $$4f(x)f(0)=2f(x),$$ 从而有$f(0)=\dfrac 12$，故$f(2016)=\dfrac 12$．

大部分抽象函数的问题都能找到对应的函数原型，虽然不能证明就是这个函数，但是可以通过函数原型求出相关的值，本题也可以通过联想找函数原型，由题中等式联想到

$$2\cos x\cos y=\cos(x+y)+\cos(x-y),$$ 可以想象$f(x)=A\cos{\omega x}$．

通过验算，以及待定系数，能够确定$f(x)=\dfrac 12\cos\dfrac {\pi x}{3}$．因此

$$f(2016)=\dfrac 12\cos\dfrac {2016\pi}{3}=\dfrac 12.$$ 由待定系数无法得到这就是$f(x)$的唯一表达式，因为函数原型不一定唯一，但本题用特征根法可以直接求出自变量为整数时对应的函数表达式：

令$a_n=f(n)$，$n\in\mathcal{N}^*$，则有递推公式

$$a_n=a_{n-1}+a_{n+1}，$$ 用特征根法可以求得$a_n=\dfrac 12\cos\dfrac {n\pi}{3}$．

更多相当问题见每日一题[311]抽象函数与函数方程和每日一题[69]抽象函数．