每日一题[347]抽象与具体

已知$f(x)$的定义域为$\mathcal{R}$,$f(1)=\dfrac 14$,且满足$$4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),$$则$f(2016)=$_____.


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正确答案是$\dfrac 12$.

 抽象函数问题的常见思路是借助合理的赋值得到结果.

令$y=1$得$$f(x)=f(x+1)+f(x-1),$$于是有$f(x+1)=f(x)-f(x-1)$,从而$$f(x)=f(x-1)-f(x-2),$$于是得到$f(x+1)=-f(x-2)$,即$f(x+3)=-f(x)$,所以$$f(x+6)=-f(x+3)=f(x),$$即$f(x)$是周期为$6$的函数.于是$f(2016)=f(0)$.令$y=0$得$$4f(x)f(0)=2f(x),$$从而有$f(0)=\dfrac 12$,故$f(2016)=\dfrac 12$.

大部分抽象函数的问题都能找到对应的函数原型,虽然不能证明就是这个函数,但是可以通过函数原型求出相关的值,本题也可以通过联想找函数原型,由题中等式联想到$$2\cos x\cos y=\cos(x+y)+\cos(x-y),$$可以想象$f(x)=A\cos{\omega x}$.

通过验算,以及待定系数,能够确定$f(x)=\dfrac 12\cos\dfrac {\pi x}{3}$.因此$$f(2016)=\dfrac 12\cos\dfrac {2016\pi}{3}=\dfrac 12.$$由待定系数无法得到这就是$f(x)$的唯一表达式,因为函数原型不一定唯一,但本题用特征根法可以直接求出自变量为整数时对应的函数表达式:

令$a_n=f(n)$,$n\in\mathcal{N}^*$,则有递推公式$$a_n=a_{n-1}+a_{n+1},$$用特征根法可以求得$a_n=\dfrac 12\cos\dfrac {n\pi}{3}$.

更多相当问题见每日一题[311]抽象函数与函数方程每日一题[69]抽象函数

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