2014年北京中考数学24题最后一问

在正方形\(ABCD\)的外侧作直线\(AP\),点\(B\)关于直线\(AP\)的对称点为\(E\),连接\(BE,DE\),其中\(DE\)交直线\(AP\)于点\(F\).若\(45^\circ<\angle PAB<90^\circ\),则\(AB,EF,FD\)存在怎样的等量关系?QQ截图20151225113034

分析 求三条分散的线段关系,一般要将线段集中在一个三角形中或一条直线上,因为已知中有对称点,所以我们可以通过对称去转移线段.

连接\(BF,BD\).根据对称的性质可得\[EF=FB,\]QQ截图20151229132838因为\(BD=\sqrt 2 AB\),所以将\(AB,EF,FD\)三条线段转移到了\(\triangle FBD\)中.QQ截图20151229132856连接\(AE\),则\[\angle AED=\angle ADE=\angle ABF,\]所以\[\angle BAD=\angle BFD=90^\circ,\]所以\[EF^2+FD^2=BD^2=2AB^2.\]
练习 在等边三角形\(ABC\)外侧作直线\(AP\),点\(B\)关于直线\(AP\)的对称点为\(D\),连接\(BD,CD\),其中\(CD\)交直线\(AP\)于点\(E\).若\(60^\circ<\angle PAB<120^\circ\),证明由线段\(AB、CE、DE\)可以构成一个含有\(60^\circ\)角的三角形.QQ截图20151225120145

连接 \(AD\),\(BE\),根据对称的性质,将\(DE\),\(AB\),\(EC\)转移到\(\triangle BEC\)中,QQ截图20151229132905则\(\angle ADC=\angle ACD=\angle ABE\),所以\(\angle BEC=\angle BAC=60^\circ\)QQ截图20151229132914所以线段\(AB、CE、DE\)可以构成一个含有\(60^\circ\)角的三角形.

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