每日一题[47] 构造映射比大小

今天的题目来自2011年浙江高考理科数学卷第10题（选择压轴题）．

设$a,b,c$为实数，$f(x)=(x+a)\left(x^2+bx+c\right)$，$g(x)=(ax+1)\left(cx^2+bx+1\right)$．记集合$S=\left\{x\left|\right.f(x)=0,x\in\mathcal R\right\}$，$T=\left\{x\left|\right.g(x)=0,x\in\mathcal R\right\}$，若$\mathrm{Card}(S)$、$\mathrm{Card}(T)$分别表示集合$S$、$T$的元素个数，则下列结论不可能的是（        ）

A．$\mathrm{Card}(S)=1$且$\mathrm{Card}(T)=0$

B．$\mathrm{Card}(S)=1$且$\mathrm{Card}(T)=1$

C．$\mathrm{Card}(S)=2$且$\mathrm{Card}(T)=2$

D．$\mathrm{Card}(S)=2$且$\mathrm{Card}(T)=3$

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正确的答案是D．

注意到

$$g(x)=\begin{cases}x^3\left(\dfrac 1x+a\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+b\cdot\dfrac{1}{x}+c\right),&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}$$ 即 $$g(x)=\begin{cases}x^3f\left(\dfrac 1x\right),&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}$$ 于是 $$T=\left\{\dfrac 1x\left|\right.x\in S\land x\neq 0\right\}$$ 于是$\mathrm{Card}(T)\leqslant\mathrm{Card}(S)$，且$\mathrm{Card}(T)$最多比$\mathrm{Card}(S)$小$1$（取决于$S$中是否包含$0$），于是选$D$．

接下来给出选项A、B、C的构造：

A．$f(x)=x^3$，$a=b=c=0$

B．$f(x)=(x-1)^3$，$a=-1,b=-2,c=1$

C．$f(x)=(x-1)(x-2)^2$，$a=-1,b=-4,c=4$

点评    构造映射是比较集合中元素个数多少的重要方法．