每日一题[46] 三射线定理

已知二面角αABβ120CDαCDABEFβEFAB30角,则异面直线CDEF所成角的余弦值为________.


cover正确答案是14

事实上,我们有一般的结论(三射线定理).

QQ20150228-8

如图,PAPBPC分别是从P出发的三条射线,APCBPCAPB分别为αβθ,则二面角APCB(记其大小为φ)满足:cosθ=cosαcosβ+sinαsinβcosφ.

证明如下:

QQ20150228-7

过射线PC上一点H作垂直于PC的平面,射线PAPB分别与该平面相交于MN两点,则PMPN=(PH+HM)(PH+HN)=PH2+HMHN=PH2+HMHNcosφ,PMPN=PMPNcosθ,于是两边同除以PMPNcosθ=cosαcosβ+sinαsinβcosφ.

在今天的这道试题中,应用三射线定理,有cosθ=cos30cos90+sin30sin90cos120=14,于是所求值为14

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  4. 大雨说:

    这个题也可以用三余弦定理做吧,cos60*cos60=1/4.

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