已知二面角α−AB−β为120∘,CD⊂α,CD⊥AB,EF⊂β,EF与AB成30∘角,则异面直线CD与EF所成角的余弦值为________.
事实上,我们有一般的结论(三射线定理).
如图,PA、PB、PC分别是从P出发的三条射线,∠APC、∠BPC、∠APB分别为α、β、θ,则二面角A−PC−B(记其大小为φ)满足:cosθ=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ⋅cosφ.
证明如下:
过射线PC上一点H作垂直于PC的平面,射线PA、PB分别与该平面相交于M、N两点,则→PM⋅→PN=(→PH+→HM)⋅(→PH+→HN)=PH2+→HM⋅→HN=PH2+HM⋅HN⋅cosφ,又→PM⋅→PN=PM⋅PNcosθ,于是两边同除以PM⋅PN得cosθ=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ⋅cosφ.
在今天的这道试题中,应用三射线定理,有cosθ=cos30∘⋅cos90∘+sin30∘⋅sin90∘⋅cos120∘=−14,于是所求值为14.
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这个题也可以用三余弦定理做吧,cos60*cos60=1/4.