每日一题[46] 三射线定理

已知二面角$\alpha-AB-\beta$为$120^\circ$，$CD\subset\alpha$，$CD\perp AB$，$EF\subset\beta$，$EF$与$AB$成$30^\circ$角，则异面直线$CD$与$EF$所成角的余弦值为________．

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正确答案是$\dfrac 14$．

事实上，我们有一般的结论（三射线定理）．

如图，$PA$、$PB$、$PC$分别是从$P$出发的三条射线，$\angle APC$、$\angle BPC$、$\angle APB$分别为$\alpha$、$\beta$、$\theta$，则二面角$A-PC-B$（记其大小为$\varphi$）满足：

$$\cos\theta=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\cos\varphi.$$

证明如下：

过射线$PC$上一点$H$作垂直于$PC$的平面，射线$PA$、$PB$分别与该平面相交于$M$、$N$两点，则

$$\begin{split}\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}&=\left(\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HM}\right)\cdot\left(\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HN}\right)\\&=PH^2+\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{HN}\\&=PH^2+HM\cdot HN\cdot\cos\varphi,\end{split}$$ 又 $$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=PM\cdot PN\cos\theta,$$ 于是两边同除以$PM\cdot PN$得 $$\cos\theta=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\cos\varphi.$$

在今天的这道试题中，应用三射线定理，有

$$\cos\theta=\cos 30^\circ\cdot\cos 90^\circ+\sin 30^\circ\cdot\sin 90^\circ\cdot\cos 120^\circ=-\frac{1}{4},$$ 于是所求值为$\dfrac 14$．