每日一题[154] 折叠中的二面角

2015年高考浙江卷理科数学第8题（选择压轴题）：

如图，已知三角形$ABC$，$D$是$AB$的中点，沿直线$CD$将三角形$ACD$折成三角形$A'CD$，所成二面角$A'-CD-B$的平面角为$\alpha$，则（        ）

A．$\angle A'DB\leqslant\alpha$

B．$\angle A'DB\geqslant \alpha$

C．$\angle A'CB\leqslant \alpha$

D．$\angle A'CB\geqslant \alpha$

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正确答案是B．

得到答案是容易的，可以取以下两种极端情形进行排除：

当$\alpha=\pi$时，显然$\angle A'DB=\angle ADB=\pi$，而$\angle A'CB=\angle ACB<\pi$，排除D；

当$\alpha=0$时，显然$\angle A'DB=\angle A'^\prime DB>0$，而$\angle A'CB=\angle A'^\prime CB>0$，排除A、C．

下面证明选项B是正确的．如图，在平面$ABC$内过$D$作线段$MN$垂直于$CD$，且$AB=MN$，$D$亦为$MN$的中点．设在折叠过程中，$M$的对应点为$M'$，则根据二面角的平面角的定义有$\alpha=\angle M'DN$．

若线段$MN$与线段$AB$重合，那么就有$\angle M'DN=\angle A'DB$，命题成立；

若线段$MN$不于线段$AB$重合，那么$A$和$B$分别位于直线$MN$两侧，于是$A'$和$B$分别位于平面$M'DN$两侧．进而在三角形$A'DB$和三角形$M'DB$中，$M'D=A'D$且$BA'>BM'$，于是$\angle A'DB>\angle M'DB$．而在三角形$M'DB$和三角形$M'DN$中，$DN=DB$且$M'B>M'N$，于是$\angle M'DB>\angle M'DN$，于是命题成立．

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注    也可以利用三射线定理

$$\cos\angle A'DB=\cos\angle A'DC\cos\angle BDC+\sin\angle A'DC\sin\angle BDC\cos\alpha,$$ 结合$\angle A'DC+\angle BDC=\pi$，有 $$1+\cos\angle A'DB=\left(1+\cos\alpha\right)\cdot\sin\angle A'DC\sin\angle BDC,$$ 因此 $$\cos\angle A'DB\leqslant \cos\alpha,$$ 考虑到余弦函数在$[0,\pi]$内单调递减，于是命题成立．