函数零点问题一则

2012年高考辽宁卷理科数学第11题：

设函数$f(x)$（$x\in\mathcal R$）满足$f(-x)=f(x)$，$f(x)=f(2-x)$，且当$x\in [0,1]$时，$f(x)=x^3$．又函数$g(x)=|x\cos (\pi x)|$，则函数$h(x)=g(x)-f(x)$在$\left[-\dfrac 12,\dfrac 32\right]$上的零点个数为（        ）

A．$5$

B．$6$

C．$7$

D．$8$

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正确答案是 B．

下面是一个典型的错解，很多教辅书都是这样给出的解答：

根据题意，$f(x)$是偶函数，同时也是周期为$2$的函数．

显然$x=0$是函数的一个零点；

当$x \ne 0$且$x$在一个周期区间$[-1,1]$上时，函数$h(x)=g(x)-f(x)$的零点，即方程 $$|\cos (\pi x)|=\dfrac{f(x)}x,$$ 考虑到左侧函数周期为$1$，而右侧函数周期为$2$，于是所求区间$\left[-\dfrac 12,\dfrac 32\right]\setminus\{0\}$等价于$\left(-1,1\right]\setminus\{0\}$．

考虑到图形的对称性，只需要考虑$m(x)=x^2$的图象与$n(x)=|\cos (\pi x)|$的图象在区间$\left(0,1\right]$上的交点个数即可．

在区间$\left(0,\dfrac 12\right]$上，$m(x)$单调递增，$n(x)$单调递减，又 $$m(0)-n(0)<0,m\left(\dfrac 12\right)-n\left(\dfrac 12\right)>0,$$ 于是函数$h(x)$在该区间上有$1$个零点；

在区间$\left(\dfrac 12,1\right]$上，注意到$m(x)$下凸递增，$n(x)$上凸递增，又 $$m\left(\dfrac 12\right)-n\left(\dfrac 12\right)>0,m(1)-n(1)=0,$$ 于是函数$h(x)$在该区间上有$2$个零点；

根据对称性，函数$h(x)$在区间$\left(-1,0\right)$上有$2$个零点．

综上，$h(x)$在$\left[-\dfrac 12,\dfrac 32\right]$上有$6$个零点．

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错误的原因是

虽然$f(x)$是周期函数，但是$\dfrac{f(x)}x$并非周期函数！

因此这个解法在区间$\left[-\dfrac 12,1\right]$上的讨论都是正确的，在该区间上的零点个数为$5$，我们只需要讨论在$\left(1,\dfrac 32\right]$上的零点个数．

事实上此时 $$f(x)-g(x)=(2-x)^3+x\cos (\pi x),$$ 其导函数 $$\left(f(x)-g(x)\right)'=-3(2-x)^2+\cos (\pi x)- \pi x\sin (\pi x),$$ 二阶导函数为 $$\left(f(x)-g(x)\right)''=6(2-x)-2\pi \sin(\pi x)- \pi^2 x\cos (\pi x)>0,$$ 因此$\left(f(x)-g(x)\right)'$单调递增，从而 $$\left(f(x)-g(x)\right)'\left|\right._{x=1}<0,\left(f(x)-g(x)\right)'|_{x=\frac 12}>0,$$ 进而$f(x)-g(x)$在区间$\left(1,\dfrac 32\right]$上先减后增，而 $$\left(f(x)-g(x)\right)|_{x=1}=0,\left(f(x)-g(x)\right)|_{x=\frac 12}>0,$$ 可以断定函数$h(x)$在区间$\left(1,\dfrac 32\right]$上有$1$个零点．

综上，$h(x)$在$\left[-\dfrac 12,\dfrac 32\right]$上有$6$个零点．