每日一题[194] 向量分解的系数和

2014年全国高中数学联赛河北省预赛第7题：

已知圆\(O:x^2+y^2=1\)为三角形\(ABC\)的外接圆，且\(\tan A=2\)，若\(\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)，则\(x+y\)的最大值为_______．

正确答案是\(\dfrac{5-\sqrt 5}{4}\)．

如图，延长\(AO\)交边\(BC\)于点\(D\)，设\(\overrightarrow{AO}=\lambda \overrightarrow{AD}\)，则有\[\overrightarrow{AD}=\dfrac {x}{\lambda}\overrightarrow{AB}+\dfrac{y}{\lambda}\overrightarrow{AC},\]于是由平面向量共线的表达可得\[\dfrac{x}{\lambda}+\dfrac{y}{\lambda}=1,\]从而可得\[x+y=\lambda=\dfrac{AO}{AD},\]显然，当\(OD\)取最小值时\(x+y\)取得最大值，此时三角形\(ABC\)为等腰三角形，容易计算得\(x+y=\dfrac{5-\sqrt 5}{4}\)．