每日一题[161] 阿波罗尼斯圆

2015年高考数学湖北卷理科数学第14题（填空压轴题）：

如图，圆$C$与$x$轴相切于点$T(1,0)$，与$y$轴正半轴交于两点$A$、$B$（$B$在$A$的上方），且$AB=2$．

（1）圆$C$的标准方程为_______；

（2）过点$A$任作一条直线与圆$O:x^2+y^2=1$相交于$M$、$N$两点，下列三个结论：

①  $\dfrac{NA}{NB}=\dfrac{MA}{MB}$;

②  $\dfrac{NB}{NA}-\dfrac{MA}{MB}=2$；

③  $\dfrac{NB}{NA}+\dfrac{MA}{MB}=2\sqrt 2$．

其中正确结论的序号是_______．（写出所有正确结论的序号）

正确答案是（1）$(x-1)^2+\left(y-\sqrt 2\right)^2=1$；（2）①②③．

（1）由于圆$C$与$x$轴相切于$(1,0)$，于是弦$AB$与圆心的距离为$1$，进而可得圆的半径为$\sqrt 2$，于是圆$C$的方程为 $$(x-1)^2+\left(y-\sqrt 2\right)^2=2.$$

（2）点$A\left(0,\sqrt 2-1\right)$，点$B\left(0,\sqrt 2+1\right)$，设圆$O$与$y$轴的交点分别为$P$、$Q$，如图．

由于 $$\overrightarrow{AP}=\left(\sqrt 2-1\right)\overrightarrow{PB},\\\overrightarrow{AQ}=-\left(\sqrt 2-1\right)\overrightarrow{QB},$$ 于是以$PQ$为直径的圆$O$上的点到$A$与到$B$的距离之比 $$\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{NA}{NB}=\sqrt 2-1,$$ 因此命题①②③均正确．

注    这里用到了阿波罗尼斯圆，也可以参考每日一题[39]  阿波罗尼斯圆．