每日一题[39] 阿波罗尼斯圆

已知三角形\(ABC\)中，\(AB:AC=\sqrt 2:1\)，\(BC=2\)，求三角形\(ABC\)面积的最大值．

 法一    利用阿波罗尼斯圆  如图，三角形\(ABC\)的顶点\(A\)的轨迹为以\(MN\)为直径的圆（想想看，为什么？），其中\[\overrightarrow{BM}=\sqrt 2\overrightarrow{MC},\overrightarrow{BN}=-\sqrt 2\overrightarrow{NC}.\] 不难求得\[CM=2\left(\sqrt 2-1\right),CN=2\left(\sqrt 2+1\right).\] 于是\(BC\)边上的高的最大值为圆的半径\[\dfrac {MN}2=\dfrac{CM+CN}2=2\sqrt 2.\]进而三角形\(ABC\)面积的最大值为\[\dfrac 12BC\cdot 2\sqrt 2=2\sqrt 2.\]

法二    利用海伦公式 令\(AB=2\sqrt 2t\)，\(AC=2t\)，则三角形\(ABC\)的半周长\[p=\left(\sqrt 2+1\right)t+1.\]由海伦公式\[S_{\triangle ABC}=\sqrt{p\cdot (p-AB)\cdot (p-BC)\cdot (P-CA)},\]将\(AB\)，\(BC\)，\(CA\)的长度代入，并整理得\[\begin{split}S_{\triangle ABC}&=\sqrt{\left[t^2-\left(\sqrt 2-1\right)^2\right]\cdot\left[\left(\sqrt 2+1\right)^2-t^2\right]}\\&\leqslant\dfrac{\left[t^2-\left(\sqrt 2-1\right)^2\right]+\left[\left(\sqrt 2+1\right)^2-t^2\right]}2\\&=2\sqrt 2.\end{split}\] 等号当且仅当\(t^2=3\)时取得．

注    事实上，平面上到两顶点的距离的平方和为定值的点的轨迹也是圆．