每日一题[2987]站在巨人肩膀

已知函数 $f(x)=-\dfrac{\ln^2 x}{2}+x+\ln x-1$，$g(x)=(x-1) \mathrm{e}^x-\dfrac{a x^2}{2}+a^2$，$a<1$．

1、判断 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $g(x)$ 有唯一零点，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{(x+1)-\ln x}{x},$$ 于是 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

2、函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=x\left({\rm e}^x-a\right).$$

情形一     $a< 0$．此时 $g(x)$ 满足 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&+\infty&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&0&\searrow&a^2-1&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}$$ 因此当 $a^2-1=0$，即 $a=-1$ 时 $g(x)$ 有唯一零点．

情形二     $a=0$．此时 $g(x)=(x-1){\rm e}^x$，有唯一零点 $x=1$，符合题意．

情形三     $0<a<1$．此时 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,\ln a)&\ln a&(\ln a,0)&0&(0,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&a(\ln a-1)-\dfrac{a\ln^2a}{2}+a^2a=f(a)&\searrow&a^2-1&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}$$ 根据第 $(1)$ 题的结论，当 $0<a<1$ 时，有 $$af(a)<af(1)=0,$$ 因此函数在 $(0,+\infty)$ 有唯一零点，符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\{-1\}\cup [0,1)$．