每日一题[2986]指对混合

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} x^2-a x-1$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、若不等式 $f(x) \geqslant 0$ 在 $x \in[0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

2、若 $x>0$，求证：$\left(\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} x^2+1\right) \ln (x+1)>2 x$．

解析

1、注意到 $f(0)=0$，而函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-x-a,\]有 $f'(0)=1-a$．

情形一     $a\leqslant 1$．此时\[f(x)\geqslant {\rm e}^x-\dfrac 12x^2-x-1,\]设 $g(x)=\left(1+x+\dfrac 12x^2\right){\rm e}^{-x}$，则其导函数\[g'(x)=-\dfrac 12x^2{\rm e}^{-x},\]当 $x\geqslant 0$ 时，有 $g(x)$ 单调递减，于是当 $x\geqslant 0$ 时，有 $g(x)\leqslant 1$，进而\[{\rm e}^x-\dfrac 12x^2-x-1\geqslant 0,\]符合题意．

情形二     $a>1$．此时在 $x\in (0,\ln a)$ 上，有\[f'(x)<{\rm e}^x-a<0,\]于是 $f(x)$ 在该区间上单调递减，结合 $f(0)=0$，可得在该区间上有 $f(x)<0$，不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．

2、根据题意，有\[LHS>(x+2)\ln (x+1),\]因此只需要证明当 $x>0$ 时，有\[\ln(x+1)>\dfrac{2x}{x+2},\]根据进阶放缩，命题得证．