2015年高考数学广东卷理科第21题（压轴题）：
数列\(\left\{a_n\right\}\)满足：\[a_1+2a_2+\cdots+na_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}},n\in\mathcal N^*.\]
（1）求\(a_3\)的值；
（2）求数列\(\left\{a_n\right\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)；
（3）令\(b_1=a_1\)，\(b_n=\dfrac{T_{n-1}}n+\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n\right)a_n\)（\(n\geqslant 2\)），证明：数列\(\left\{b_n\right\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)满足\(S_n<2+2\ln n\)．
（1）解 当\(n=1\)时，\(a_1=1\)；
当\(n\geqslant 2\)时，根据已知可得\[\begin{split}na_n&=\left(4-\frac{n+2}{2^{n-1}}\right)-\left(4-\frac{n+1}{2^{n-2}}\right)\\&=\frac{n}{2^{n-1}},\end{split}\]于是\[a_n=\frac{1}{2^{n-1}}.\]
综上，\(\forall n\in\mathcal N^*,a_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}\)．
（2）解 \(T_n=2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\)．
（3）证明 不妨记\(T_0=0\)，这样就有\[\forall n\in\mathcal N^*,b_n=\dfrac{T_{n-1}}n+\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n\right)a_n.\]
于是\[\begin{split}\sum_{k=1}^nb_k&=\sum_{k=1}^n\left[\dfrac{T_{k-1}}{k}+\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1k\right)a_k\right]\\&=\sum_{k=1}^n\left[\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1k\right)\cdot\left(T_k-T_{k-1}\right)+\dfrac{T_{k-1}}{k}\right]\\&=\sum_{k=1}^n\left[\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1k\right)\cdot T_k-\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac{1}{k-1}\right)\cdot T_{k-1}\right]\\&=\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1n\right)\cdot T_n\\&<2\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1n\right),\end{split}\]因此只需要证明\[\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n<\ln n.\]
事实上，由于\[\forall x>0,\ln\dfrac{1}{1-x}>x,\]如图（很容易利用导函数证明）．
分别令\(x=\dfrac 12,\dfrac 13,\cdots,\dfrac 1n\)，累加即得．
注一 第（3）小题也可以用阿贝尔求和，\[\begin{split}\qquad&\sum_{k=1}^{n}\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1k\right)\cdot\dfrac{1}{2^{k-1}}\\&=1\cdot 1+\left(1+\dfrac 12\right)\cdot \dfrac 12+\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13\right)\cdot\dfrac 14+\cdots+\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1n\right)\cdot\dfrac{1}{2^{n-1}}\\&=1\cdot\left(1+\dfrac 12+\dfrac 14+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)+\dfrac 12\left(\dfrac 12+\dfrac 14+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)+\cdots+\dfrac 1n\cdot\dfrac{1}{2^{n-1}}\\&=1\cdot T_n+\dfrac 12\cdot \left(T_n-T_1\right)+\cdots+\dfrac{1}{n}\cdot\left(T_n-T_{n-1}\right),\end{split}\]于是\[\begin{split}S_n&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{T_{k-1}}k+\sum_{k=1}^{n}\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1k\right)\cdot\dfrac{1}{2^{k-1}}\\&=\left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1n\right)\cdot T_n.\end{split}\]
注二 最后一段证明也可以使用数学归纳法或积分放缩法叙述，本质完全相同．