练习题[24] 2015年高考题集锦

1、（2015年·天津·理14）在等腰梯形\(ABCD\)中，已知\(AB\parallel DC\)，\(AB=2\)，\(BC=1\)，\(\angle ABC=60^\circ\)．动点\(E\)和\(F\)分别在线段\(BC\)和\(DC\)上，且\(\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC}\)，\(\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{9\lambda}\overrightarrow{DC}\)，则\(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}\)的最小值为_______．

2、（2015年·广东·理8）若空间中\(n\)个不同的点两两距离都相等，则正整数\(n\)的取值（        ）

A．至多等于\(3\) 

B．至多等于\(4\)

C．等于\(5\)

D．大于\(5\)

3、（2015年·山东·理10）设函数\(f(x)=\begin{cases}3x-1,&x<1,\\2^x,&x\geqslant 1,\end{cases}\)则满足\(f(f(a))=2^{f(a)}\)的\(a\)的取值范围是（        ）

A．\(\left[\dfrac 23,1\right]\)

B．\([0,1]\)

C．\(\left[\dfrac 23,+\infty\right)\)

D．\([1,+\infty)\)

4、（2015年·山东·理15）平面直角坐标系\(xOy\)中，双曲线\(C_1:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的渐近线与抛物线\(C_2:x^2=2py\)（\(p>0\)）交于\(O\)、\(A\)、\(B\)，若三角形\(OAB\)的垂心为\(C_2\)的焦点，则\(C_1\)的离心率为________．

5、（2015年·安徽·理10）已知函数\(f(x)=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)\)（\(A\)，\(\omega\)，\(\varphi\)均为正的常数）的最小正周期为\(\pi\)，当\(x=\dfrac{2\pi}3\)时，函数\(f(x)\)取得最小值，则下列结论正确的是（        ）

A．\(f(2)<f(-2)<f(0)\)

B．\(f(0)<f(2)<f(-2)\)

C．\(f(-2)<f(0)<f(2)\)

D．\(f(2)<f(0)<f(-2)\)

6、（2015年·福建·理10）若定义在\(\mathcal R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(0)=-1\)，其导函数\(f'(x)\)满足\(f'(x)>k>1\)，则下列结论中一定错误的是（        ）

A．\(f\left(\dfrac 1k\right)<\dfrac 1k\)

B．\(f\left(\dfrac 1k\right)>\dfrac 1{k-1}\)

C．\(f\left(\dfrac 1{k-1}\right)<\dfrac 1{k-1}\)

D．\(f\left(\dfrac 1{k-1}\right)>\dfrac k{k-1}\)

7、（2015年·福建·理15）一个二元码是由\(0\)和\(1\)组成的数字串\(x_1x_2\cdots x_n\)（\(n\in\mathcal N^*\)），其中\(x_k\)（\(k=1,2,\cdots,n\)）称为第\(k\)位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由\(0\)变为\(1\)，或者由\(1\)变为\(0\)）．

已知某种二元码\(x_1x_2\cdots x_7\)的码元满足如下校验方程组：\[\begin{cases}x_4\oplus x_5\oplus x_6\oplus x_7=0,\\x_2\oplus x_3\oplus x_6\oplus x_7=0,\\x_1\oplus x_3\oplus x_5\oplus x_7=0,\end{cases}\]其中运算“\(\oplus\)”定义为：\(0\oplus 0=0\)，\(0 \oplus 1=1\)，\(1 \oplus 0=1\)，\(1\oplus 1=0\)．

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第\(k\)位发生码元错误后变成了\(1101101\)，那么利用上述校验方程组可判定\(k\)等于_______．

---

参考答案

1、\(\dfrac{29}{18}\)

2、B    提示    \(n\)个点中的任意\(3\)个都能构成正三角形

3、C    提示    记\(t=f(a)\)，则\(f(t)=2^t\)，于是可得\(t\geqslant 1\)，进而可解得\(a\geqslant \dfrac 23\)

4、\(\dfrac 32\) 

5、A

6、C    提示    构造函数\(g(x)=f(x)-kx+1\)，则\(g(0)=0\)且\(g'(x)>0\)，于是当\(x>0\)时，\(g(x)>0\)．

7、\(5\)    提示    根据运算“\(\oplus\)”的定义（实际上就是异或XOR），有\(x_1\oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n\)（\(n\in\mathcal N^*\)且\(n\geqslant 2\)）当\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)中有奇数个\(1\)时值为\(1\)，偶数个\(1\)时值为\(0\)．

---

注    第7题主要讲述的是信息学中有关校验位的事情．